Gęstość łączna

[zadaniastatmat]

Zbliża się egzamin a ja nie mam pojęcia jak to zrobić.

1.Gęstość łączna wagi orzeszków ziemnych X i nerkowców Y w puszce kilogramowej ma postać
f(x, y) ={24xy x>=0, y>=0, x+y<=1
{0 dla pozostałych (x, y)
Oblicz Cov(X,Y)

2. Dwuwymiarowa zmienna losowa ciągła (X,Y) ma funkcję gęstości łącznej postaci

f(x, y) ={Cxy 0<=x<=2, 0<=y<=1
{0 w przypadku przeciwnym
(a) Znajdź funkcję gęstości zmiennej losowej X.
(b) Oblicz E(Y^2).
Oblicz E(XY)

Z góry bardzo dziękuję za pomoc.

[panb]

\(f(x,y)= \begin{cases} 24xy&\text{dla}&x\ge0,\,\,y\ge0,\,\,x+y\le1\\0&w\,\, p. p.\end{cases}\)
To jest trochę liczenia. A z czym właściwie masz problem.
\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(Y)E(Y)\)
\(x+y\le1 \iff 0 \le y\le1-x,\,\,\ 0\le x\le 1\)

\(E(XY)=\iint_{R^2}xyf(xy)dxdy= \int_{0}^{1}dx \int_{0}^{1-x}xy \cdot 24xydy= 24\int_{0}^{1}x^2 \int_{0}^{1-x} y^2dy=\ldots\)
Ostatecznie po scałkowaniu otrzymujemy \(E(XY)= \frac{2}{15}\)

Teraz trzeba obliczyć E(X) i E(Y), ale do tego potrzebne są rozkłady brzegowe \(f_X(x)\) i \(f_Y(y)\)

• \(f_X(x)= \int_{- \infty }^{+ \infty } f(x,y)dy\\
  f_Y(y)=\int_{- \infty }^{+ \infty } f(x,ydx\)

Wtedy \(E(X)=\int_{- \infty }^{+ \infty } xf_X(x)dx\\
E(Y)=\int_{- \infty }^{+ \infty }y f_Y(y)dy\)

Dasz radę to policzyć?

• Odp.: \(Cov(X,Y)=- \frac{2}{75}\)