wartość oczekiwana

[Int]

Gra polega na tym, że gracz A płaci graczowi B 18 + x zł. Następnie rzuca dwiema kostkami. Jeśli
na obu kostkach wypadną szóstki, to gracz A otrzymuje 8x zł. Jeśli szóstka będzie na jednej kostce, to
otrzymuje 4x zł. W pozostałych przypadkach nie otrzymuje nic.

Dla jakiego a gra jest sprawiedliwa?

[radagast]

Zmienna \(X\) opisująca wygraną ma taki rozkład: \(X\sim \left\{\left( \frac{1}{36},8x \right),\left( \frac{1}{6},4x \right),\left( \frac{29}{36},-18-x \right) \right\}\)
No to
\(EX= \frac{8x}{36}+ \frac{4x}{6} - \frac{29(18+x)}{36}\)
Gra jest sprawiedliwa jeśli \(EX=0\)
Policz sobie
(Wyszło mi 174)

[Int]

Dzięki bardzo! Zaraz policzę i sprawdzę czy wyszło mi tak samo.
Mam jeszcze problem z jednym zadaniem.

Prawdopodobieństwo wygrania w pewnej loterii wynosi 0, 2 i nie zmienia się po zakupieniu losu.
Kupiono 100 losów. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby losów wygrywających wśród zakupionych
losów.

[Int]

Czy w przypadku gdy została wyrzucona jedna szóstka prawdopodobieństwo nie powinno być równe \(\frac{5}{36}\)?
Tj. \(\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}\) (wyrzucona 6 i 5 możliwości na drugiej kostce).

[radagast]

To jest nieco trudniejsze:
\(X\sim \left\{\left(0;0,8^{100} \right) ; \left(1; { 100\choose 1 } \cdot 0,8^{99} \cdot 0,2^{1} \right) ;...; \left(99; { 100\choose 99 } \cdot 0,8^{1} \cdot 0,2^{99} \right); \left(100; 0,8^{100} \right) \right\}\)
\(\displaystyle EX= \sum_{i=0}^{100} i \cdot { 100\choose i } \cdot 0,8^{100-i} \cdot 0,2^{i}\)
i trzeba tę sumę jakoś sprytnie policzyć . I to właśnie jest ta trudność .

[radagast]

Czy w przypadku gdy została wyrzucona jedna szóstka prawdopodobieństwo nie powinno być równe \frac{5}{36}? Tj. \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} (wyrzucona 6 i 5 możliwości na drugiej kostce).

Tak , masz rację ! Pomyliłam się . Popraw sobie.
O ile się znów nie pomyliłam to tym razem wychodzi x=-522. czyli gracz przystępując do gry powinien dostać 504 zł.

[Int]

Jeszcze raz bardzo dziękuję, teraz już chyba dam radę

[radagast]

To jest jeszcze inaczej potem to poprawie (robię obiad )

[Int]

W zadaniu pierwszym po poprawkach wyszło mi x = 150. Po wstawieniu do wzoru wychodzi 0 czyli się zgadza.

W zadaniu drugim poprawiłam wzór rozkładu Bernoulliego;
\(\displaystyle EX= \sum_{i=0}^{100} i \cdot { 100\choose i } \cdot 0,8^{i} \cdot 0,2^{100-i}\)
ale nie umiem ruszyć tego.

[radagast]

Zmienna \(X\) opisująca wygraną ma taki rozkład: \(X\sim \left\{\left( \frac{1}{36},8x \right),\left( {6 \choose 1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} ,4x \right),\left( \frac{29}{36},-18-x \right) \right\}\)
No to
\(EX= \frac{8x}{36}+ \frac{120x}{36} - \frac{29(18+x)}{36}\)
\(x=5 \frac{27}{99}\)
Ale ja mam dziś zły dzień (ciągle się mylę ).

[Lemon_1998]

Zmienna \(X\) opisująca wygraną ma taki rozkład: \(X\sim \left\{\left( \frac{1}{36},8x \right),\left( {6 \choose 1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} ,4x \right),\left( \frac{29}{36},-18-x \right) \right\}\)
No to
\(EX= \frac{8x}{36}+ \frac{120x}{36} - \frac{29(18+x)}{36}\)
\(x=5 \frac{27}{99}\)
Ale ja mam dziś zły dzień (ciągle się mylę ).

Jest to błędna odpowiedź. W rzucie kostkami gdzie tylko jedna ma być szóstką powinno być prawdopodobieństwo 10/36 a nie 30/36