Zadanie 1
W urnie jest 14 kul: 6 bialych i 8 czarnych . Wyjmujemy losowo dwie kule jedna po drugiej, bez zwracania. Jakie jest prawdopodobienstwo ze druga kula jest czarna , jezeli pierwsza byla biala??
Zadanie 2
Wykazac ze jezeli zdarzenia A i B sa rozlaczne to A, B sa niezalezne wtt (P(A)=0 v P(B)=0)
Zadanie 3
W sklepie wsrod 100 sztuk towaru jest 60% I gatunku i 40% II gatunku. Jakie jest prawdopodobienstwo ze druga kolejno sprzedana sztuka jest I gatunku?
Zadanie 4
Zdarzenia A, B i C sa niezalezne oraz P(A)=P(B)=P(C)= 1/2.
Czy zdarzenia A, B, C, moga sie parami wykluczac?
PRAWDOPODOBIENSTWO WARUNKOWE. ZDARZENIA NIEZALEZNE
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
3.
A- druga wybrana sztuka jest I gatunku
Wśród 100 sztuk jest 60 sztuk I i 40 sztuk II gatunku
p- sprzedano sztukę pierwszego gatunku
d- sprzedano sztukę drugiego gatunku
\(P(A)=P(pp)+P(dp)\\P(A)=\frac{60}{100}\cdot\frac{59}{99}+\frac{40}{100}\cdot\frac{60}{99}=\frac{99\cdot60}{100\cdot99}=\frac{60}{100}=0,6=60%\)
A- druga wybrana sztuka jest I gatunku
Wśród 100 sztuk jest 60 sztuk I i 40 sztuk II gatunku
p- sprzedano sztukę pierwszego gatunku
d- sprzedano sztukę drugiego gatunku
\(P(A)=P(pp)+P(dp)\\P(A)=\frac{60}{100}\cdot\frac{59}{99}+\frac{40}{100}\cdot\frac{60}{99}=\frac{99\cdot60}{100\cdot99}=\frac{60}{100}=0,6=60%\)
4.
Zdarzenia A, B, C są niezależne, jeśli spełnione są wszystkie warunki:
\(P(A\cap\ B\cap\ C)=P(A)\cdot\ P(B)\cdot\ P(C)\\P(A\cap\ B)=P(A)\cdot\ P(B)\\P(A\cap\ C)=P(A)\cdot\ P(C)\\P(B\cap\ C)=P(B)\cdot\ P(C)\)
Jeśli
\(P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}\),
to:
\(P(A\cap\ B)=P(A\cap\ C)=P(B\cap\ C)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
Gdyby któreś z dwóch zdarzeń, na przykład A i B się wykluczały, to musiałoby być:
\(A\cap\ B= \emptyset \ \Rightarrow \ P(A\cap\ B)=P(A)\cdot\ P(B)=0\ \Leftrightarrow \ P(A)=0\ \vee\ P(B)=0\)
a to przeczy założeniu.
Zdarzenia A, B, C są niezależne, jeśli spełnione są wszystkie warunki:
\(P(A\cap\ B\cap\ C)=P(A)\cdot\ P(B)\cdot\ P(C)\\P(A\cap\ B)=P(A)\cdot\ P(B)\\P(A\cap\ C)=P(A)\cdot\ P(C)\\P(B\cap\ C)=P(B)\cdot\ P(C)\)
Jeśli
\(P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}\),
to:
\(P(A\cap\ B)=P(A\cap\ C)=P(B\cap\ C)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
Gdyby któreś z dwóch zdarzeń, na przykład A i B się wykluczały, to musiałoby być:
\(A\cap\ B= \emptyset \ \Rightarrow \ P(A\cap\ B)=P(A)\cdot\ P(B)=0\ \Leftrightarrow \ P(A)=0\ \vee\ P(B)=0\)
a to przeczy założeniu.