Metody probabilistyczne - kolos.

[orzelek_89]

Witam wszystkich! Potrzebuje pomocy w nastepujących zadaniach z metod probabilistycznych. Bardzo prosze o pomoc, jutro mam kolosa a nie bardzo to czaje;/

1. Grupa studencka składa się z 4 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadnych dwóch studentów nie obchodzi tego samego dnia urodzin (przyjmujemy, że rok ma 365 dni).
2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowane w lotku 6 liczb z 49 będą pochodziły spośród ustalonego 16 elementowego zbioru liczb.
3. Trzez jednotorowy odcinek drogi o końcach A i B przejechać mają dwa tramwaje jadące z przeciwnych kierunków niezależnie od siebie. Pierwszy tramwaj przybywa do punktu A w chwili t1, drugi do punktu B w chwili t2, przy czym T'<t1<T'', T'<t2<T''. Wszystkie punkty odcinka <T',T''> są jednakowo prawdopodobne. Niech T" - T'=15min. Obliczyć prawdopodobieńśtwo, że jeden tramwaj będzie musiał czekać aż drugi przejedzie jeśli czas przejazdu odcinka AB wynosi 3minuty.
4. Srednio co 4 miesiace trzeba wymieniac baterie w pilocie. Oblicz prawdopodobieństwo ze:
a) przez 8 miesiecy nie trzeba wymieniac baterii
b) w ciagu roku trzeba wymienic baterie co najmniej raz
c) wcale nie trzeba wymieniac


Z góry bardzo dziękuje!

[Galen]

1)Pierwsza osoba ma 365 dni do wyboru,druga już tylko 364 dni,trzecia-363,czwarta-362 dni...
Wszystkich możliwych czterech dat jest tyle,ile jest wariacji czteroelementowych ze zbioru 365 dni.
\(\Omega =W_3_6_5^4 =365^4\)
\(A = V_3_6_5^4=365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot 362\)
\(P(A) = \frac{365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot 362}{365^4}= \frac{364 \cdot 363 \cdot 362}{365^3}\)

[Galen]

2)
\(P(A)= \frac{ { 16\choose 6} }{ { 49\choose6 } }= \frac{13}{22701}\)

[Galen]

3)
Coś takiego pamiętam,że rysowało się kwadrat o boku 15 i odcinało się trójkąty prostokątna o przyprostokątnych długości (15-3,czyli 12) odcinkami równoległymi do przekątnej tego kwadratu.Uzyskany pas kwadratu między trójkątami oznaczał sytuację,kiedy tramwaje mogą się zderzyć,więc trzeba czekać.
Pole kwadratu \(\Omega =15^2=225\)
Pole pasa niebezpieczeństwa \(A=15^2-12^2=81\)
\(P(A)= \frac{81}{225}= \frac{9}{25}=0,36\)
Pamiętam,że rysunek jest w układzie współrzędnych,a proste wycinające "pas niebezpieczeństwa" mają
równania y=x-3 i y=x+3.

[Galen]

4)
Coś mi tu pachnie schematem Bernoulliego,ale...nie pamiętam.Sorry