oszacowanie liczby otrzymanych szóstek

[Term123]

Wykonujemy 180 rzutów kostką. Oszacować z prawdopodobieństwem \(0,9\) liczbę otrzymanych szóstek.

[panb]

Mamy do czynienia ze zmienną losową \(S_n\) o rozkładzie Bernoulli'ego \(B \left(180, \frac{1}{6} \right) \).
Rozkład taki na mocy twierdzenia Moivre'a-Laplace'a można przybliżać rozkładem normalnym \[N \left(180 \cdot \frac{1}{6},\sqrt{180 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} } \right)=N(30,5) \]

Zmienna \(U= \frac{S_n-30}{5} \) ma rozkład normalny \(N(0,1)\) z dystrybuantą \(\Phi(t)\)
stablicowaną np.tutaj
\(P|S_n|\le k)=P \left( \begin{vmatrix} \frac{S_n-30}{5} \end{vmatrix}\le \frac{k-30}{5} \right) =0,9 \)

Szukamy takiej wartości c, żeby \(P(|U|\le c)=0,9 \iff P(U\le c)=0,95 \So c\approx 1,64\)
Liczba szóstek mieści sie w przedziale [k,K], gdzie
\[\frac{k-30}{5}=-1,64 ;\quad \frac{K-30}{5}=1,64 \So k\approx21 ,\quad K\approx 38 \]

Odpowiedź: Z prawdopodobieństwem 0,9 liczba szóstek mieści się w przedziale [21,38]

P.S. Wyjaśnienie skąd wzięło się 0,95 na rysunku poniżej:

images.png (11.61 KiB) Przejrzano 904 razy

Można sprawdzić (np. w Excelu), że \(X\sim N(30,5) \So P(21\le X \le 38)=0,90927\)