Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
d1234
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 16 kwie 2021, 12:55
Podziękowania: 26 razy
Płeć:

Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Post autor: d1234 »

W bibliotece znajdują się m. in. książki z logistyki, statystyki i inne.
Losowo pojawiający się student wybiera książkę z logistyki z prawdopodobieństwem 0,4,
a książkę ze statystyki z prawdopodobieństwem 0,2. Każdy student wybiera tylko po jednej
książce. Niech 𝑋 i 𝑌 oznaczają odpowiednio ilości wybranych książek z logistyki i ze
statystyki przez trzech studentów. Dla zm. l. 𝑋 i 𝑌 wyznaczyć
a) 𝔼𝑋, 𝔼𝑌.
b) D^2X, D^2Y
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Post autor: panb »

d1234 pisze: 17 kwie 2021, 11:21 W bibliotece znajdują się m. in. książki z logistyki, statystyki i inne.
Losowo pojawiający się student wybiera książkę z logistyki z prawdopodobieństwem 0,4,
a książkę ze statystyki z prawdopodobieństwem 0,2. Każdy student wybiera tylko po jednej
książce. Niech 𝑋 i 𝑌 oznaczają odpowiednio ilości wybranych książek z logistyki i ze
statystyki przez trzech studentów. Dla zm. l. 𝑋 i 𝑌 wyznaczyć
a) 𝔼𝑋, 𝔼𝑌.
b) D^2X, D^2Y
Możliwych przypadków jest osiem, więc nietrudno je wypisać (L - logistyka, S - statystyka):
[LLL], [LLS], [LSL], [SLL], [SSS], [SSL], [SLS], [LSS]

X - ilość wybranych książek z logistyki. Jej rozkład:
  • \(P(X=3)= \frac{1}{8},\quad P(X=2)= \frac{3}{8},\quad P(X=1)= \frac{3}{8}, \quad P(X=0)= \frac{1}{8} \)
Y - ilość wybranych książek ze statystyki. Jej rozkład:
  • \(P(Y=3)= \frac{1}{8},\quad P(Y=2)= \frac{3}{8},\quad P(Y=1)= \frac{3}{8}, \quad P(Y=0)= \frac{1}{8} \)
Myślę, że po przeanalizowaniu już rozwiązanych zadań, dasz radę policzyć to, o co pytają.
W razie problemów - pisz.
d1234
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 16 kwie 2021, 12:55
Podziękowania: 26 razy
Płeć:

Re: Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Post autor: d1234 »

panb pisze: 17 kwie 2021, 19:39
d1234 pisze: 17 kwie 2021, 11:21 W bibliotece znajdują się m. in. książki z logistyki, statystyki i inne.
Losowo pojawiający się student wybiera książkę z logistyki z prawdopodobieństwem 0,4,
a książkę ze statystyki z prawdopodobieństwem 0,2. Każdy student wybiera tylko po jednej
książce. Niech 𝑋 i 𝑌 oznaczają odpowiednio ilości wybranych książek z logistyki i ze
statystyki przez trzech studentów. Dla zm. l. 𝑋 i 𝑌 wyznaczyć
a) 𝔼𝑋, 𝔼𝑌.
b) D^2X, D^2Y
Możliwych przypadków jest osiem, więc nietrudno je wypisać (L - logistyka, S - statystyka):
[LLL], [LLS], [LSL], [SLL], [SSS], [SSL], [SLS], [LSS]

X - ilość wybranych książek z logistyki. Jej rozkład:
  • \(P(X=3)= \frac{1}{8},\quad P(X=2)= \frac{3}{8},\quad P(X=1)= \frac{3}{8}, \quad P(X=0)= \frac{1}{8} \)
Y - ilość wybranych książek ze statystyki. Jej rozkład:
  • \(P(Y=3)= \frac{1}{8},\quad P(Y=2)= \frac{3}{8},\quad P(Y=1)= \frac{3}{8}, \quad P(Y=0)= \frac{1}{8} \)
Myślę, że po przeanalizowaniu już rozwiązanych zadań, dasz radę policzyć to, o co pytają.
W razie problemów - pisz.
A to, że książkę z logistyki wybiera się z prawdopodobieństwem 0,4 a ze statystyki 0,2 nie wpływa w żaden sposób?
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2021, 10:47 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Post autor: panb »

Oczywiście, że wpływa. Każde L=0,4, a każde S=0,2
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Post autor: panb »

\(P(X=3)=0,4\cdot0,4\cdot0,4\\
P(X=2)=(0,4\cdot0,4\cdot0,2)\cdot3\\
P(X=1)=(0,4\cdot0,2\cdot0,2)\cdot3\\
P(X=0)=0,2\cdot0,2\cdot0,2\)
d1234
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 16 kwie 2021, 12:55
Podziękowania: 26 razy
Płeć:

Re: Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Post autor: d1234 »

Dziękuje bardzo, już wszystko jasne!
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Post autor: panb »

Niestety to nie jest tak. Żeby coś było rozkładem musi się sumować do 1.To się nie sumuje, ponieważ 0,4+0,2=0,6, więc te dwie możliwości nie wyczerpują wszystkich możliwości. Trzeba jeszcze uwzględnić, że student nie wybrał żadnej z tych dwóch kategorii, tzn. "student nie wybiera książki z logistyki ani statystyki prawdopodobieństwem 1-0,4-0,2=0,4
\(P(X=3)=0,4^3=0,064\\
P(X=2)= 0,4^3+0,4 \cdot 0,2 \cdot 0,4+0,4^3+2 \cdot 0,2 \cdot 0,4 \cdot 0,4= 0,288 \\
P(X=1)=0,4(0,2 \cdot 0,2+0,2 \cdot 0,4+0,4 \cdot 0,2+0,4 \cdot 0,4) + 0,2(0,4 \cdot 0,2+0,4 \cdot 0,4+0,2 \cdot 0,4+0,4 \cdot 0,4)+\\+0,4(0,2 \cdot 0,4+0,4 \cdot 0,4+0,4 \cdot 0,2+0,4 \cdot 0,4)=0,432\\
P(X=0)=0,2^3+0,4^3+3 \cdot 0,2^2*0,4+3 \cdot 0,4^2*0,2=0,216\)

Teraz jest to rozkład, bo 0,064+0,288+0,432+0,216=1

\(EX=3 \cdot 0,064+2 \cdot 0,288 +1 \cdot 0,432 +0 \cdot 0,216=1,2\\
EX^2=3^2 \cdot 0,064+2^2 \cdot 0,288 +1^2 \cdot 0,432 +0^2 \cdot 0,216=2,16\\
D^X=2,16-(1,2)^2=0,94\)

Odpowiedź: \(EX=1,2,\quad D^2X=0,94\)

Uwaga!
  • Niech L- logistyka, S - statystyka, I -m inna. Zapis \(0,4(0,2 \cdot 0,2+0,2 \cdot 0,4+0,4 \cdot 0,2+0,4 \cdot 0,4)\) odpowiada sytuacji: L(SS+SI+IS+II) - będzie wypożyczona jedna książka z logistyki.
Przepraszam. Mam nadzieję, że nie jest za późno.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

Post autor: panb »

Teraz Y.
\(P(Y=3)=P\{SSS\}=0,2^3=0,008\\
P(Y=2)=P\{LSS, ISS, SIS, SLS, SSI, SSL\}=6\cdot0,2^2\cdot0,4=0,096\\
P(Y=1)=P\{ LLS, LSL, SLL, IIS, ISI, SII, LIS, LSI, ISL, ILS, SIL, SLI \}=12\cdot0,4^2\cdot 0,2=0,384\\
P(Y=0)=P\{LLL, III, LLI, LIL, ILL, IIL, ILI, LII\}=8\cdot0,4^3=0,512\)


Łatwo sprawdzić, że prawdopodobieństwa sumują się do 1.

Teraz \(EY=3 \cdot 0,008+2 \cdot 0,096+1 \cdot 0,384=0,6\\
EY^2=3^2 \cdot 0,008+2^2 \cdot 0,096+1^2 \cdot 0,384=0,84\\
D^2Y=0,84-0,6^2=0,48\)


Odpowiedź: \(EY=0,6,\quad D^2Y=0,48\)

ODPOWIEDZ