Mam problem z obliczeniem tych zadań. Próbując policzyć na kalkulatorze daje mi wynik nieznany przez wielkość liczb. Wiec jestem wręcz przekonany ze źle wpisuje wartości we wzór lub w ogóle używam złego wzoru. Przejrzałem swoją książkę z tym tematem jednak nigdzie nie mam podobnego przykładu z takimi dużymi liczbami. Na mniejszych liczbach jak miałem silnie to jest ok. Ale tutaj moje pomysły wyczerpały się. Brak pomysłu w ogóle co z tym zrobić mam
Załączam link z zadaniem po angielsku.
https://ibb.co/2dzPZM1
Z góry dziękuje za pomoc
Nadal będę próbować dojść do czegos z tym, szukając na stronach wzorów lub podobnych przykładów
Funkcja wiarygodności pomoc
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1506
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Funkcja wiarygodności pomoc
(i)
\( \sum_{i=1}^{6} p_{i} = 1. \)
Sprawdzenie
\( \theta + \frac{1}{4}(1 -2\theta) + \frac{1}{4}(1 -2\theta) + \frac{1}{4}(1-2\theta) + \frac{1}{4}(1-2\theta)+\theta = 1 \)
\( 0 < 1 -2\theta < 1, \ \ 0 <\theta < \frac{1}{2}. \)
(ii)
\( n = 1000 \)
Funkcja wiarygodności
\( L(\theta, n_{1}, n_{2}, ...,n_{6}) = \prod_{i=1}^{6}p_{\theta}(n_{i}) =\prod_{i=1}^{6} {1000\choose n_{i}}\theta^{n_{i}}\cdot (1-2\theta)^{1000-n_{i}} =\)
\( = C\cdot \theta^{205}\cdot (1 -2\theta)^{154+141+165 + 145}\cdot \theta^{190} = C\cdot(1-2\theta)^{605}\cdot \theta^{395}.\)
(iii)
Pochodna pierwszego rzędu funkcji wiarygodności (pochodna iloczynu dwóch funkcji potęgowych)
\( L'(\theta) = 395\cdot \theta^{394}\cdot (1-2\theta)^{605}-2 \theta^{395}\cdot 605\cdot (1- 2\theta)^{604} = \theta^{394}\cdot (1 -2\theta)^{604} \cdot [395\cdot(1-2\theta)- 2\theta\cdot 605 ] = \)
\( = \theta^{394}\cdot (1-2\theta)^{604}\cdot [ 395 -790\cdot \theta -1210\cdot \theta] = \theta^{394}\cdot (1- 2\theta)^{604}(395 - 2000\cdot \theta) .\)
(iv)
Znajdujemy maksimum lokalne funkcji wiarygodności
\( L'(\theta) = 0 \)
\( \theta^{394}\cdot (1- 2\theta)^{604}(395 - 2000\cdot \theta) = 0 \)
\( (395 -2000\cdot \theta) = 0 \)
\( \hat{\theta} = \frac{395}{2000} = \frac{79}{400}. \)
\( znak [ L'(\theta) ] = znak [(395 -2000\cdot \theta)] \)
\( L'(\theta) >0 , \ \ \text{gdy} \ \ 0 < \theta < \frac{79}{400} \)
\( L'(\theta) < 0 , \ \ \text{gdy} \ \ \frac{79}{400} < \theta < 1. \)
Maksymalna wartość estymatora największej wiarygodności EMNW parametru \( \theta \) wynosi \( \hat{\theta} = \frac{79}{400}.\)
\( BSK[(\hat{\theta} - \theta)^2 = \left(\frac{79}{400} - \frac{1}{6}\right)^2 =9,5\cdot 10^{- 4}.\)
\( \sum_{i=1}^{6} p_{i} = 1. \)
Sprawdzenie
\( \theta + \frac{1}{4}(1 -2\theta) + \frac{1}{4}(1 -2\theta) + \frac{1}{4}(1-2\theta) + \frac{1}{4}(1-2\theta)+\theta = 1 \)
\( 0 < 1 -2\theta < 1, \ \ 0 <\theta < \frac{1}{2}. \)
(ii)
\( n = 1000 \)
Funkcja wiarygodności
\( L(\theta, n_{1}, n_{2}, ...,n_{6}) = \prod_{i=1}^{6}p_{\theta}(n_{i}) =\prod_{i=1}^{6} {1000\choose n_{i}}\theta^{n_{i}}\cdot (1-2\theta)^{1000-n_{i}} =\)
\( = C\cdot \theta^{205}\cdot (1 -2\theta)^{154+141+165 + 145}\cdot \theta^{190} = C\cdot(1-2\theta)^{605}\cdot \theta^{395}.\)
(iii)
Pochodna pierwszego rzędu funkcji wiarygodności (pochodna iloczynu dwóch funkcji potęgowych)
\( L'(\theta) = 395\cdot \theta^{394}\cdot (1-2\theta)^{605}-2 \theta^{395}\cdot 605\cdot (1- 2\theta)^{604} = \theta^{394}\cdot (1 -2\theta)^{604} \cdot [395\cdot(1-2\theta)- 2\theta\cdot 605 ] = \)
\( = \theta^{394}\cdot (1-2\theta)^{604}\cdot [ 395 -790\cdot \theta -1210\cdot \theta] = \theta^{394}\cdot (1- 2\theta)^{604}(395 - 2000\cdot \theta) .\)
(iv)
Znajdujemy maksimum lokalne funkcji wiarygodności
\( L'(\theta) = 0 \)
\( \theta^{394}\cdot (1- 2\theta)^{604}(395 - 2000\cdot \theta) = 0 \)
\( (395 -2000\cdot \theta) = 0 \)
\( \hat{\theta} = \frac{395}{2000} = \frac{79}{400}. \)
\( znak [ L'(\theta) ] = znak [(395 -2000\cdot \theta)] \)
\( L'(\theta) >0 , \ \ \text{gdy} \ \ 0 < \theta < \frac{79}{400} \)
\( L'(\theta) < 0 , \ \ \text{gdy} \ \ \frac{79}{400} < \theta < 1. \)
Maksymalna wartość estymatora największej wiarygodności EMNW parametru \( \theta \) wynosi \( \hat{\theta} = \frac{79}{400}.\)
\( BSK[(\hat{\theta} - \theta)^2 = \left(\frac{79}{400} - \frac{1}{6}\right)^2 =9,5\cdot 10^{- 4}.\)
-
Adrian30
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 13 sty 2021, 16:48
- Podziękowania: 7 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Funkcja wiarygodności pomoc
Głównie podpunkt 3 i 4 ale widząc teraz jak zrobione jest 1 i 2 to jednak małe błędy zrobiłem również tam...
dzięki za pomoc, teraz mogę przestudiować cała drogę rozwiązania o spróbować samemu ponownie
dzięki za pomoc, teraz mogę przestudiować cała drogę rozwiązania o spróbować samemu ponownie