Rozdzielić dzienną produkcję energii 130 MWh między dwie elektrownie, tak, aby dzienne koszty zużycia paliwa (w tys.zł) opisane funkcją:
\(f(x_1,x_2)=(1-x_1)^2 + (3-2x_2)^2 + 13\)
gdzie:
\(x_1=\) zużycie paliwa elektrowni I,
\(x_2=\) zużycie paliwa elektrowni II
były możliwie najmniejsze. Wiadomo ponadto, że z 1 t. paliwa w elektrowni I uzyskuje się
1 MWh energii, a w elektrowni II – 2 MWh. Podać dzienne koszty zużycia paliwa w tych elektrowniach.
Rozdzielić dzienną produkcję energii
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Rozdzielić dzienną produkcję energii
Ostatnio zmieniony 06 sty 2023, 15:26 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Rozdzielić dzienną produkcję energii
Niech \(x_1,x_2\) oznaczają zużycie paliwa w tonach. Więc z \(x_1\) ton uzyskamy \(x_1\) MWh w elektrowni 1, a z \(x_2\) ton uzyskamy \(2x_2\) MWh w elektrowni 2. Zatem \(x_1+2x_2=130\). Obliczamy \(x_1=130-2x_2\) i wstawiamy to do wzoru na \(f(x_1,x_2)\). Uzyskamy\[f(130-2x_2,x_2)=8x_2^{2} - 528 x_2 + 16663.\]Ten trójmian ma minimum dla \(x_2=33\), zatem \(x_1=130-66=64.\) Dzienny koszt wynosi więc \(f(64,33)=7951\) jednostek pieniężnych.
Re: Rozdzielić dzienną produkcję energii
Jakie rozwiązanie będzie zatem do:
Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie, tak, aby
dzienne koszty zużycia paliwa (w tys.zł) opisane funkcją:
f(x1,x2)=2(1-x1)^2 + (3-x2)^2
gdzie:
x1 - zużycie paliwa w elektrowni I,
x2 - zużycie paliwa w elektrowni II,
były możliwie najmniejsze. Wiadomo ponadto, że 1 t paliwa w elektrowni I uzyskuje się
5 MWh energii, a w elektrowni II – 3 MWh. Podać dzienne koszty zużycia paliwa w tych
elektrowniach.
Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie, tak, aby
dzienne koszty zużycia paliwa (w tys.zł) opisane funkcją:
f(x1,x2)=2(1-x1)^2 + (3-x2)^2
gdzie:
x1 - zużycie paliwa w elektrowni I,
x2 - zużycie paliwa w elektrowni II,
były możliwie najmniejsze. Wiadomo ponadto, że 1 t paliwa w elektrowni I uzyskuje się
5 MWh energii, a w elektrowni II – 3 MWh. Podać dzienne koszty zużycia paliwa w tych
elektrowniach.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1546
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Rozdzielić dzienną produkcję energii
Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a (ekstremum warunkowego) dla funkcji Lagrange'a:
\( \mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda) = 2(1-x_{1})^2 + (3 -x_{2})^2 - \lambda(5x_{1} + 3x_{2} -100).\)
Sprawdzamy warunki konieczne istnienia ekstremum warunkowego:
\( \begin{cases} \mathcal{L'}_{|x_{1}} -4(1-x_{1}) - 5\lambda = 0 \\ \mathcal{L'}_{|x_{2}} = -2(3-x_{2})- 3\lambda =0 \\ \mathcal{L'}_{|\lambda} =5x_{1}+3x_{2} -100 = 0 \end{cases} \)
Proszę rozwiązać ten układ równań liniowych, znajdując wartości \( x^{*}_{1},\ \ x^{*}_{2} \) podejrzane oistnienie minimum warunkowego.
Dla tych wartości proszę proszę zbadać określoność macierzy drugiej różniczki
\( D^2(\mathcal{L}) = \left [ \begin{matrix} \mathcal{L"}_{x_{1}|x_{1}} & \mathcal{L"}_{x_{1}|x_{2}} \\ \mathcal{L"}_{x_{2}|x_{1}} & \mathcal{L"}_{x_{2}|x_{2}}\end{matrix} \right] \)
Jeśli macierz drugiej różniczki jest macierzą dodatnio określoną, to w punktach \( x^{*}_{1},\ \ x^{*}_{2} \) występuje minimum warunkowe funkcji dziennych kosztów zużycia paliwa w elektrowniach:
Odpowiedź:
\( x_{1} = 11 \) tys zł, \( x_{2} = 15 \) tys zł
Łączny koszt zużycia paliwa w obu elektrowniach wynosi \( f(11, 15). \)
\( \mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda) = 2(1-x_{1})^2 + (3 -x_{2})^2 - \lambda(5x_{1} + 3x_{2} -100).\)
Sprawdzamy warunki konieczne istnienia ekstremum warunkowego:
\( \begin{cases} \mathcal{L'}_{|x_{1}} -4(1-x_{1}) - 5\lambda = 0 \\ \mathcal{L'}_{|x_{2}} = -2(3-x_{2})- 3\lambda =0 \\ \mathcal{L'}_{|\lambda} =5x_{1}+3x_{2} -100 = 0 \end{cases} \)
Proszę rozwiązać ten układ równań liniowych, znajdując wartości \( x^{*}_{1},\ \ x^{*}_{2} \) podejrzane oistnienie minimum warunkowego.
Dla tych wartości proszę proszę zbadać określoność macierzy drugiej różniczki
\( D^2(\mathcal{L}) = \left [ \begin{matrix} \mathcal{L"}_{x_{1}|x_{1}} & \mathcal{L"}_{x_{1}|x_{2}} \\ \mathcal{L"}_{x_{2}|x_{1}} & \mathcal{L"}_{x_{2}|x_{2}}\end{matrix} \right] \)
Jeśli macierz drugiej różniczki jest macierzą dodatnio określoną, to w punktach \( x^{*}_{1},\ \ x^{*}_{2} \) występuje minimum warunkowe funkcji dziennych kosztów zużycia paliwa w elektrowniach:
Odpowiedź:
\( x_{1} = 11 \) tys zł, \( x_{2} = 15 \) tys zł
Łączny koszt zużycia paliwa w obu elektrowniach wynosi \( f(11, 15). \)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1546
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Rozdzielić dzienną produkcję energii
Znajdujemy współrzędne punktu \( (x_{1}, x_{2}), \) w którym funkcja Lagrange'a może mieć minimum warunkowe.
Rozwiązujemy układ równań:
\( \begin{cases} 4x_{1} -5\lambda = 4 \\ 2x_{2} - 3\lambda = 6 \\ 5x_{1} +3x_{2} = 100 \end{cases}. \)
Proponuję z pierwszego i drugiego równania wyrugować \( \lambda \) i otrzymane równanie ze zmiennymi \( x_{1}, x_{2} \) dołączyć do równania trzeciego.
W tym celu pierwsze równanie mnożymy na przykład przez \( -3, \) drugie przez \( 5 \) i dodajemy równania stronami
Mamy
\( \begin{cases} -12x_{1} +10x_{2} =18 \\ 5x_{1} + 3x_{2} = 100 \end{cases} \)
I znowu metodą przeciwnych współczynników, jeśli na przykład pomnożymy pierwsze równanie przez \( 3 \) drugie przez \( 5 \) i dodamy stronami to z pierwszym równaniem otrzymamy kolejno:
\( \begin{cases} -41x_{1} = -473 \\ -6x_{1} +5x_{2} = 9 \end{cases} \)
\( x_{1} = 11 \) ton.
\( 5x_{2} = 9 + 6x_{1} = 9 + 6\cdot 11 = 75, \ \ x_{2} = 15 \) ton.
Sprawdzamy, czy w punkcie \( (11, 15) \) występuje minimum.
Znajdujemy macierz drugiej różniczki.
\( D^2[\mathcal{L}(x_{1},x_{2}, \lambda)] = \begin{bmatrix} L^{''}_{x_{1} x_{1}} & L^{''}_{x_{1} x_{2}} \\ L^{''}_{x_{2},x_{1}} & L^{''}_{x_{2} x_{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. \)
Widzimy, że macierz ta jest macierzą dodatnio określoną, bo jej wyznaczniki
\( \det[ 4] >0 \) i \( \det\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} > 0,\) więc w punkcie \((x^{*}, y^{*}) = (11, 15) \) występuje minimum warunkowe funkcji Lagrange'a.
Odpowiedź:
Elektrownia 1 - \( 11 \) ton paliwa
Elektrownia 2- \( 15 \) ton paliwa.
Rozwiązujemy układ równań:
\( \begin{cases} 4x_{1} -5\lambda = 4 \\ 2x_{2} - 3\lambda = 6 \\ 5x_{1} +3x_{2} = 100 \end{cases}. \)
Proponuję z pierwszego i drugiego równania wyrugować \( \lambda \) i otrzymane równanie ze zmiennymi \( x_{1}, x_{2} \) dołączyć do równania trzeciego.
W tym celu pierwsze równanie mnożymy na przykład przez \( -3, \) drugie przez \( 5 \) i dodajemy równania stronami
Mamy
\( \begin{cases} -12x_{1} +10x_{2} =18 \\ 5x_{1} + 3x_{2} = 100 \end{cases} \)
I znowu metodą przeciwnych współczynników, jeśli na przykład pomnożymy pierwsze równanie przez \( 3 \) drugie przez \( 5 \) i dodamy stronami to z pierwszym równaniem otrzymamy kolejno:
\( \begin{cases} -41x_{1} = -473 \\ -6x_{1} +5x_{2} = 9 \end{cases} \)
\( x_{1} = 11 \) ton.
\( 5x_{2} = 9 + 6x_{1} = 9 + 6\cdot 11 = 75, \ \ x_{2} = 15 \) ton.
Sprawdzamy, czy w punkcie \( (11, 15) \) występuje minimum.
Znajdujemy macierz drugiej różniczki.
\( D^2[\mathcal{L}(x_{1},x_{2}, \lambda)] = \begin{bmatrix} L^{''}_{x_{1} x_{1}} & L^{''}_{x_{1} x_{2}} \\ L^{''}_{x_{2},x_{1}} & L^{''}_{x_{2} x_{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. \)
Widzimy, że macierz ta jest macierzą dodatnio określoną, bo jej wyznaczniki
\( \det[ 4] >0 \) i \( \det\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} > 0,\) więc w punkcie \((x^{*}, y^{*}) = (11, 15) \) występuje minimum warunkowe funkcji Lagrange'a.
Odpowiedź:
Elektrownia 1 - \( 11 \) ton paliwa
Elektrownia 2- \( 15 \) ton paliwa.