Zadanie z ekonomii

[mateuszm9114]

Przychód wydawcy słownika polsko-angielskiego wynosi: \(TR=-0,005x^2-0,003y^2-0,002xy+20x+17y\), gdzie \(x\) i \(y\) to liczby wyprodukowanych i sprzedanych egzemplarzy odpowiednio w twardej i miękkiej okładce. Całkowity koszt, jaki ponosi wydawca, to: \(TC= 6x+3y+1000\). Jaki nakład obu rodzajów słownika przyniesie wydawcy największy zysk? Ile on wynosi?

[grdv10]

Maksymalizujemy zysk, czyli różnicę \(TR-TC=f(x,y)=-0,005x^2-0,003y^2-0,002xy+14x+14y-1000.\)

Pochodne cząstkowe zerują się w punkcie \(x=1000,y=2000.\) Analizując hesjan stwierdzamy, że w tym punkcie nasza funkcja rzeczywiście ma maksimum.

Załączam skrypt Maximy.

Pochodne cząstkowe i przyrównanie do zera

Kod: Zaznacz cały

f:lambda([x,y],-0.005*x^2-0.003*y^2-0.002*x*y+14*x+14*y-1000);
solve([diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)]);

Macierz Hessego

Kod: Zaznacz cały

H:lambda([x,y],matrix([diff(f(x,y),x,2),diff(diff(f(x,y),x),y)],[diff(diff(f(x,y),y),x),diff(f(x,y),y,2)]));
H(x,y);

Widać, że ta macierz jest stała, a w punkcie krytycznym spełnia warunek na maksimum lokalne. Ponadto, funkcja celu jest wklęsła, więc maksimum lokalne jest zarazem absolutne.