Elastyczność dochodowa popytu i koszt krańcowy

[orflei1963]

Dana jest funkcja popytu na odzież:
\(q(x) = 11\cdot{3x-9\over x+21}\)
gdzie x oznacza dochód miesięczny w zł na osobę.
Obliczyć elastyczność dochodową popytu dla dochodu 2,3tys. zł na osobę.


W pewnym przedsiębiorstwie funkcja kosztów przeciętnych jest dana wzorem
\(AC(q)= {q^2\over4} – 78q + 9 + {620\over q}\)
Obliczyć dla jakiej wielkości produkcji koszt krańcowy będzie najmniejszy?

Z góry dziękuje za pomoc.

[janusz55]

Zadanie 1

\( q(x) = 11\cdot{3x-9\over x+21}. \)

Elastyczność dochodowa popytu

\( E_{x} q(x) = \frac{x}{q(x)}\cdot q'(x) \)

\( q'(x) = 11\cdot \frac{(3(x+21)- (3x-9)\cdot1}{(x+21)^2} = 11\cdot \frac{3x +63 -3x +9}{(x+21)^2} = \frac{11\cdot 72}{(x+21)^2} = \frac{792}{(x+21)^2}. \)

\( E_{x} q(x) = \frac{x}{\frac{33(x-9}{x +21}} \cdot \frac{792}{(x+21)^2} = \frac{792\cdot x}{33(x -9)(x+21)} = \frac{24\cdot x}{(x-9)(x+21)}. \)

Podstawiając \( x = 2300 \) zł.

\( E_{2300}(2300) = \frac{24\cdot 2300}{(2300 -9)(2300 +21)} = \frac{242300}{2291\cdot 2321} \approx 0,010. \)

Interpretacja ekonomiczna otrzymanej wartości elastyczności cenowej popytu

Wzrost dochodu miesięcznego o \( 1\% \) spowoduje wzrost popytu na odzież w przybliżeniu też o \( 1\%.\)

Zadanie 2

\( AC(q) = \frac{1}{4}q^2 -78 q + 9 + \frac{620}{q} \)

Koszt krańcowy produkcji jest pochodną kosztów całkowitych.

Funkcja kosztów całkowitych przedsiębiorstwa jest określona wzorem

\( TC(q) = q\cdot AC(q) \)

\( TC(q) = \frac{1}{4}q^3 -78 q^2 +9q +620 \)

Funkcja kosztów krańcowych (marginalnych) przedsiębiorstwa

\( MC(q) = TC'(q) = \frac{3}{4}q^2 -156 q + 9 \)

Minimum tej funkcji występuje dla wielkości produkcji

\( q^{*} = \frac{156}{2\cdot \frac{3}{4}} = \frac{156\cdot 2}{3} = \frac{312}{3} = 104.\)

Koszt krańcowy produkcji przedsiębiorstwa będzie najmniejszy dla wielkości produkcji \( q^{*} = 104. \)