optymalizacja

[tonsil87]

witam,
mam problem z ciekawym zadaniem.Musi ono być rozwiązane jedna z metod optymalizacyjnych (np. różniczkowanie), mianowicie:
Znaleźć wymiary kwadratu , wpisanego pomiędzy wykres okręgu o promieniu 5 i oś Ox, którego pole powierzchni bedzie największe. Okrąg ma środek w punkcie (0,0).
Czy potrafi ktoś to rozwiazać ?
ps
rozwiązanie x^2+(x^2)/2=5^2 " nie jest optymalnym rozwiązaniem tego zadania"

[anka]

Już raz to podawałeś:
http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=9&t=11281

[tonsil87]

wiem,
ale mialem nadzieje ze ktos wpadl na pomysl jak to zrobic bo ja niestety nie mam pojecia jak to rozwiazac

[anka]

A znasz prawidłową odpowiedź?

[tonsil87]

niestety nie. Po rozmowie z wykladowca doszedlem do tego ze można to zrobić przez pochodną, to wszystko...to zadanie które ktoś rozwiązal w poprzednim temacie dla prostokąta jest ok, ale to ma być kwadrat.

[Crazy Driver]

Moim zdaniem to musi być po prostu kwadrat wpisany w półokrąg. Taki kwadrat będzie miał najdłuższą możliwą przekątną. Obydwie przekątne będą zawierać się między półokręgiem a jego średnicą. Wydaje mi się, że nie ma drugiej takiej sytuacji umieszczenia kwadratu w półokręgu.

Zatem kwadrat ma bok a. r=5.
Kwadrat jest tak jak półokrąg symetrycznie rozmieszczony po obu stronach osi Y. Można więc zapisać następujące twierdzenie Pitagorasa:

\(( \frac{a}{2})^2+a^2=5^2\)

Wyliczyć z niego a i mamy, co trzeba.

[anka]

Crazy Driver czytałeś posty z linka, który podałam?

[Crazy Driver]

Nie.

[anka]

To może poczytaj

[Crazy Driver]

Przeczytałem. Ale co dalej? Przecież tu nie ma nad czym dywagować. Jeśli jesteśmy w stanie wpisać figurę A w B, to nie znajdziemy figury podobnej do A, która umieszczona w figurze B będzie miała większe pole. Bo ta figura wpisana, styczna do opisanej na niej zajmuje już maksymalny obszar w figurze B, jaki może zająć. Optymalizacja, optymalizacją, a zdrowy rozsądek zdrowym rozsądkiem. W jaki sposób można tu dowieść pochodnymi, że to o ten kwadrat chodzi? Musimy mieć jakieś punkty zaczepienia. Nie utworzysz przecież równań z niczego.

[anka]

No i właśnie o to chodzi. Nie mam pojęcia dlaczego ktoś się uparł na rozwiązywanie tego zadania za pomocą pochodnych.

[tonsil87]

No widzisz, a moj pan doktor nie chce ze mna wogole rozmawiac bo twierdzi ze jest to trywialne i jesli tego nie potrafie to nie mamy o czym rozmawiac.zaznacze tylko ze studiuje elektrotechnike nie matematyke i jest to 4 rok a nie 2

[anka]

A pokazałeś mu któreś z rozwiązań z poprzedniego topiku?

[tonsil87]

tak, to najprostsze z Pitagorasa.powiedzial ,że nie jest to rozwiazanie optymalne i trzeba zastosowac jakies metody optymalizacyjne.kiedy zapytalem sie o rozniczkowanie dal do zrozumienia ,ze to dobry kierunek myslenia. ale gdy powiedzialem mu ze nie umiem tego zrobioc dla kwadratu przez rozniczkowanie ale moge to zrobic dla prostokata wtedy powiedzial ze nie mamy o czym mowic skoro nie znam tak trywialnych rozwiazan. a ja w zyciu nie mialem optymalizacji na studiach. przedmiot z ktorego jest to zadanie nazywa sie dzialy wybraner matematyki...porazka

[anka]

A niby jaki kwadrat będzie miał większe pole?

\(x^2+y^2=25 \Rightarrow y= \sqrt{25-x^2}\)

\((-x,0)\),\((x;0)\),\((x;\sqrt{25-x^2})\),\((-x;\sqrt{25-x^2})\) - współrzędne wierzchołków kwadratu
\(2x,\sqrt{25-x^2}\) - boki kwadratu

\(2x=\sqrt{25-x^2}\)
\(x= \sqrt{5}\)
\(2x=2 \sqrt{5}\)
\(y= \sqrt{25-x^2}= \sqrt{25-5} = \sqrt{20} =2 \sqrt{5}\)
czyli bok kwadratu jest równy \(2 \sqrt{5}\)


Gdybym chciała na siłę policzyć pochodną, to mam:
\(P(x)=2x\sqrt{25-x^2}\)
\(P'(x)=(2x\sqrt{25-x^2})'= \frac{2(25-2x^2)}{\sqrt{25-x^2}}\)

\(P'(x)=0\)
\(\frac{2(25-2x^2)}{\sqrt{25-x^2}}=0\)
\(2(25-2x^2)=0\)
\(x= \frac{5 \sqrt{2} }{2}\)
\(2x= 5 \sqrt{2}\)
\(y= \sqrt{25-x^2}= \sqrt{25-(\frac{5 \sqrt{2} }{2})^2}= \frac{5 \sqrt{2} }{2}\)
Wychodzi prostokąt, a nie kwadrat.


Sprawdź PW