Całka powierzchniowa

[jjjjjj]

Oblicz całkę powierzchniową \( \iint_{S}^{} (y-x)dydz+(z-x)dzdx+(x-yz)dxdy\), gdzie S jest powierzchnią całkowitą walca \(V= \left\{ (x,y,z):x^2+y^2=a^2,0 \le z \le h\right\} \) zorientowaną na zewnątrz walca \( (a,h>0)\)

[janusz55]

Płat \( S, \) po którym obliczamy całkę powierzchniową - skierowaną jest sumą płatów:

\( S_{d} \)- dolnej podstawy walca.

\( S_{g}\) - górnej podstawy walca.

\( S^{+}_{b} \) - powierzchnii bocznej walca dla \( x\geq 0. \)

\( S^{-}_{b} \) - powierzchni bocznej walca dla \( x\leq 0.\)

Zakładamy, że orientacje tych płatów są zgodne z orientacją całej powierzchni walca o wektorze normalnym skierowanym na zewnątrz powierzchni.

Powyższe płaty są wykresami funkcji dwóch zmiennych:

\( S_{d}: \ \ z = f_{1}(x,y)=0, \ \ x^2+y^2\leq a^2.\)

\( S_{g}: \ \ z = f_{2}(x,y) = h, \ \ x^2+y^2 \leq a^2.\)

\( S^{+}_{b}: \ \ x = f_{3}(y,z)= \sqrt{a^2-y^2}, \ \ -a\leq y \leq a, \ \ 0 \leq z \leq h.\)

\( S^{-}_{b}: \ \ x = f_{4}(y,z)= - \sqrt{a^2-y^2}, \ \ -a\leq y \leq a, \ \ 0 \leq z \leq h.\)

Z własności addytywności całki powierzchniowej

\( \iint_{S} (y-x)dydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy=\\
\quad=\iint_{S_{d}}(y-x)dydz + (z-x)dzdx+ (x-yz)dxdy +\\ \quad+ \iint_{S_{g}}(y-x)d(ydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy +\\ \quad+\iint_{S^{+}_{b}}(y-x)d(ydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy+\\ \quad+ \iint_{S^{-}_{b}}(y-x)d(ydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy.\)

Stosujemy wzór na zamianę całki powierzchniowej - zorientowanej na całkę podwójną, gdy płat dany jest w postaci jawneJ:

\( \iint_{S}P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy =\\ \quad= \pm \iint_{S} \left[-P(x,y,z)z_{|x} -Q(x,y,z)z_{|y} +R(x,y,z)\right] dxdy.\)

Obliczamy kolejno każdą całkę:

\( \iint_{S_{d}}(y-x)dydz + (z-x)dzdx+ (x-yz)dxdy =\\\quad= - \iint(y-x)\cdot 0 +(0-x)\cdot 0 + (x-0)dxdy = \iint_{x^2+y^2\leq a^2} xdxdy
\nad{\text{współrzędne biegunowe}}{=}\\ \quad= -\int_{0}^{2\pi} d\phi\int_{0}^{a}r\cos(\phi)dr = \frac{1}{2}a^2\sin(\phi)|_{0}^{2\pi} = 0.\)


\( \iint_{S_{g}}(y-x)d(ydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy = \iint_{x^2+y^2\leq a^2} (y-x)\cdot 0 + (h-x)\cdot 0 +(x-yh)dxdy = \\
\quad=\iint_{x^2+y^2\leq a^2} (x-y h)dxdy \nad{\text{współrzędne biegunowe}}{=} \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{a} (r\cos(\phi - r\sin(\phi)h)dr= \\
\quad=\int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{a} r[\cos(\phi)-h\sin(\phi)] = \int_{0}^{2\pi}d\phi \frac{r^2}{2}[\cos(\phi)-h\sin(\phi)]|_{0}^{a}=\\\quad=\frac{a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}[cos(\phi)-h\sin(\phi)]d\phi = \frac{a^2}{2}[\sin(\phi) +h\cos(\phi)]|_{0}^{2\pi} =\\
\quad=\frac{a^2}{2}[ \sin(2\pi)+h\cos(2\pi)-\sin(0)-h\cos(0)] = \frac{a^2}{2}[ 0+h-0-h] = 0.\)


\( \iint_{S^{+}_{b}}(y-x)d(ydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy =\\
\quad= \iint_{-a\leq y \leq a \\ 0\leq z\leq h} \left[(y -\sqrt{a^2-y^2}+ \left(z -\sqrt{a^2-y^2}\right) \left(\frac{-y}{\sqrt{a^2-y^2}}\right)+ (\sqrt{a^2-y^2}-yz)\left( \frac{-y}{\sqrt{a^2-y^2}}\right)\right]dydz =\\ \quad= \iint_{-a\leq y\leq a \\ 0\leq z\leq h} \left(y-\sqrt{a^2-y^2} -zy+y -y + \frac{y^2z}{\sqrt{a^2-y^2}}\right)dydz =\\ \quad= \iint_{-a\leq y \leq a \\ 0 \leq z\leq h} \left(y -\sqrt{a^2-y^2}-zy+ \frac{y^2 z}{\sqrt{a^2-y^2}}\right)dydz = \\
\quad= \int_{-a}^{a} dy \int_{0}^{h}\left(y-\sqrt{a^2-y^2}- z y +\frac{y^2 z}{\sqrt{a^2-y^2}}\right )dz =\int_{-a}^{a}\left( hy-h\sqrt{a^2-y^2} -\frac{h^2}{2}y +\frac{h^2 y^2}{2\sqrt{a^2-y^2}} \right) dy =\\ \quad= \left(\frac{ha^2}{2}-\frac{ha^2}{2}\right)- \frac{\pi a^2h}{2}-\left(\frac{a^2h^2}{4}- \frac{a^2h^2}{4}\right) + \frac{\pi a^2h^2}{4} = -\frac{\pi a^2h}{2} +\frac{\pi a^2h^2}{4}.\)

Całkę \( \iint_{S^{-}_{b}}(y-x)d(ydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy\) nie musimy obliczać, jeśli zauważymy, że płat \( S^{-}_{b} \) jest położony symetrycznie względem płata \( S^{+}_{b}. \)

Stąd:

\(\iint_{S^{-}_{b}}(y-x)d(ydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy = \frac{\pi a^2 h}{2} - \frac{\pi a^2h^2}{4}.\)

Reasumując

\( \iint_{S} (y-x)dydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy= 0 + 0 -\frac{\pi a^2h}{2} + \frac{\pi a^2 h^2}{4}+ \frac{\pi a^2 h}{2} - \frac{\pi a^2 h^2}{4} = 0.\)

Do tej wartości całki powierzchniowej możemy dojść prostszą drogą, jeśli skorzystamy z zależności między kosinusami kierunkowymi dla powierzchni walcowej:

\( \cos(\gamma)=0, \ \ \cos(\alpha)=\cos(\beta). \)

Całka przybiera wówczas postać:

\( \iint_{S} (y-x)dydz + (z-x)dzdx + (x-yz)dxdy = \iint_{S} \left[ (y-x)\cos(\alpha) +( z-x)\sin(\alpha)\right] ds,\)

gdzie: element powierzchni \( ds = \sqrt{A^2+B^2+C^2}d\alpha dz = \sqrt{a^2\cos^2(\alpha) +a^2\sin^2(\alpha)+0^2}= a\cdot d\alpha dz.\)

Całkę powierzchniową-zorientowaną składowej normalnej wektora pola \( \vec{F} = [ (y-x), \ \ (z-x), \ \ (x-yz)] \) interpretujemy jako strumień tego wektora przez powierzchnię \( S.\)