Zadanie z wielomianem.

[nijak]

Stopień wielomianu \(P(x)\) o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego x
\(P(x^2-1)=(P(x))^2-1\)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi równość \(P(x)=x\)

[Jerry]

Nie rozwiązałem do końca, ale...

1. Ponieważ
   \(\begin{cases}p(x^2-1)=(p(x))^2-1\\p((-x)^2-1)=(p(-x))^2-1\end{cases}\So (p(x))^2=(p(-x))^2\)
   to \(p(x)\) jest określony pw. parzystości.
2. Wobec nieparzystości jego stopnia mamy: \(p(x) \) nieparzysty, \(p(0)=0,\ p(-1)=-1,\ p(1)=1\).
3. \(p(x)=a_1x+a_3x^3+\ldots+a_{2k+1}x^{2k+1}\), gdzie \(a_1+a_3+\ldots+a_{2k+1}=p(1)=1\)
4. \(x^2-1=x\iff x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\)
5. \(p(x_1)=(p(x_1))^2-1\iff p_{1,2}(x_1)=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\)

I tu moje samozaparcie się wypaliło...

Pozdrawiam

[Tulio]

6. Ustalmy \(Q \left( x \right) =x^2-1\), wtedy zachodzi: \(P \left( Q \left( x\right) \right) =Q \left( P \left( x\right) \right) \) i wtedy każde rozwiązanie typu \(P \left(x \right) = Q \left(x \right) \) czy też \(P \left( x \right) = Q \left( Q \left(x \right) \right) \) i generalnie \(P \left(x \right) = Q \left( Q \left( \ldots \right) \right) \) byłoby rozwiązaniem niespełniającym (niestety) nieparzystości stopnia wielomianu.