Udowodnienie nierówności.

[nijak]

Udowodnij nierówności, stosując zasadę indukcji.
a) \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\ dla\ n \in N_+\)
b)\( \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\ dla\ n \in N_+\)
c) \((1+x)^n\geq 1+nx \ dla\ x>-1\ i\ n \in N_+\)

[eresh]

Udowodnij nierówności, stosując zasadę indukcji.
a) \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\ dla\ n \in N_+\)

na pewno to tak wygląda?

[nijak]

Tak, a dlaczego miało by być źle?

[eresh]

Tak, a dlaczego miało by być źle?

jest w porządku, coś mi się pomyliło

[eresh]

Udowodnij nierówności, stosując zasadę indukcji.
a) \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\ dla\ n \in N_+\)

1. dla \(n=1\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1\)

2. zakładamy, że \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\)

3. udowodnimy, że \(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+4}>1\)

\(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}>1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}=1-\frac{3}{3n+3}+\frac{1}{3n+3}+\frac{6n+6}{(3n+2)(3n+4)}=\\=1+\frac{-2(3n+2)(3n+4)+18(n+1)^2}{(3n+3)(3n+2)(3n+4)}=1+\frac{-18n^2-36n-16+18n^2+36n+18}{(3n+3)(3n+2)(3n+4)}=1+\frac{2}{(3n+3)(3n+2)(3n+4)}>1\)

[eresh]

Udowodnij nierówności, stosując zasadę indukcji.

c) \((1+x)^n\geq 1+nx \ dla\ x>-1\ i\ n \in N_+\)

1. dla \(n=1\)
\(1+x\geq 1+x\)

2. Z: \((1+x)^n\geq 1+nx\)

3. T: \((1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x\)

\((1+x)^n\geq 1+nx\\
(1+x)^{n}(1+x)\geq (1+nx)(1+x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1+x>0)\\
(1+x)^{n+1}\geq 1+x+xn+x^2n=1+x(1+n)+nx^2>1+x(1+n)\)