Zadania z ciągami.

[nijak]

a) Dla jakich wartości parametru p ciąg o wzorze ogólnym \(a_n=\frac{p\cdot n}{n+1} \)jest rosnący?
b) Dla jakich wartości parametru \(\alpha \in \left\langle 0,\pi \right\rangle\) ciąg określony wzorem ogólnym \(a_n=n\cdot \tg \alpha+1\) jest malejący?
c) Wykaż, że przy każdej wartości parametru t ciąg (a_n) jest rosnący.
\(\begin{cases} a_1=t \\ a_{n+1}=\frac{1}{2}a^2_n+1,& \text{dla }n\geq 1 \end{cases}\)
d) Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu \(a_n=\cos n\pi-2n+2\) i naszkicuj wykres tego ciągu. Czy jest to ciąg monotoniczny?

[eresh]

a) Dla jakich wartości parametru p ciąg o wzorze ogólnym \(a_n=\frac{p\cdot n}{n+1} \)jest rosnący?

\(a_{n+1}-a_n>0\\
\frac{p(n+1)}{n+2}-\frac{pn}{n+1}>0\\
\frac{p(n+1)^2-pn(n+2)}{(n+2)(n+1)}>0\\
p(n^2+2n+1-n^2-2n)>0\\
p>0
\)

[eresh]

d) Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu \(a_n=\cos n\pi-2n+2\) i naszkicuj wykres tego ciągu. Czy jest to ciąg monotoniczny?

\(a_n=\cos n\pi-2n+2\\
a_1=\cos pi-2+2=-1\\
a_2=\cos 2\pi-4+2=1-2=-1\\
a_3=\cos 3\pi-6+2=-1-4=-5\\
a_4=\cos 4\pi-8+2=1-6=-5\\
a_5=\cos 5\pi-10+2=-1-8=-9\\
a_6=\cos 6\pi-12+2=1-10=-9\)
jest to ciąg monotoniczny

[eresh]

b) Dla jakich wartości parametru \(\alpha \in \left\langle 0,\pi \right\rangle\) ciąg określony wzorem ogólnym \(a_n=n\cdot \tg \alpha+1\) jest malejący?

\(a_{n+1}-a_{n}<0\\
(n+1)\tg \alpha+1-n\tg\alpha-1<0\\
\tg\alpha<0\\
\alpha\in (\frac{\pi}{2},\pi)\)

[nijak]

A przykład c potrafisz zrobić?

[Jerry]

c) Wykaż, że przy każdej wartości parametru t ciąg (a_n) jest rosnący.
\(\begin{cases} a_1=t \\ a_{n+1}=\frac{1}{2}a^2_n+1,& \text{dla }n\geq 1 \end{cases}\)

\(a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}a^2_n+1-a_n={1\over2}(a_n-1)^2+{1\over2}\ge{1\over2}>0\)

Pozdrawiam