Wyznaczyć dziedzinę naturalną i 3 niepuste poziomice

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MartaaKo
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 27 kwie 2020, 21:07
Podziękowania: 27 razy

Wyznaczyć dziedzinę naturalną i 3 niepuste poziomice

Post autor: MartaaKo »

\(f(x,y)=\arcsin (1-x^2-y^2+2x+6y)\)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Wyznaczyć dziedzinę naturalną i 3 niepuste poziomice

Post autor: grdv10 »

Po sprowadzeniu do postaci kanonicznej mamy \(x^2-2x=(x-1)^2-1\) oraz \(y^2-6y=(y-3)^2-9\). Dlatego\[1-x^2-y^2+2x-6y=1-(x-1)^2+1-(y-3)^2+9=11-(x-1)^2-(y-3)^2.\]Ze względu na arcus sinusa musi zachodzić nierówność\[-1\leqslant 11-(x-1)^2-(y-3)^2\leqslant 1,\]czyli po pomnożeniu przez \(-1\) otrzymamy równoważnie\[-1\leqslant (x-1)^2+(y-3)^2-11\leqslant 1.\]Daje to \[10\leqslant (x-1)^2+(y-3)^2\leqslant 12,\]a ta nierówność opisuje pierścień kołowy (wraz z brzegiem) o środku \((1,3)\) i promieniach wewnętrznym \(\sqrt{10}\) oraz zewnętrznym \(2\sqrt{3}.\)

Co do poziomic mamy\[z=\arcsin\bigl(11-(x-1)^2-(y-3)^2\bigr)\iff 11-(x-1)^2-(y-3)^2=\sin z.\]Stąd wnosimy, że \(z\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) oraz\[(x-1)^2+(y-3)^2=11-\sin z,\]a liczba po prawej stronie jest zawsze dodatnia. Poziomica odpowiadająca poziomowi \(z\) jest więc okręgiem o środku \((1,3\) i promieniu \(\sqrt{11-\sin z}\). Zawsze więc ten promień plasuje się pomiędzy promieniami zewnętrznym i wewnętrznym. Trzy niepuste poziomice otrzymasz wybierając dowolnie trzy wartości \(z\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
ODPOWIEDZ