Całki funkcji wymiernych - 4 zadania

[mirapa1]

Witam serdecznie.
Prosiłbym o rozwiązania 4 zadań dotyczących całek funkcji wymiernych:

1. \[\int\frac{2x-1}{x^2-6x+9}dx\]

2. \[\int\frac{x-1}{4x^2-4x+1}dx\]

3. \[\int\frac{2x-20}{x^2-8x+25}dx\]

4. \[\int\frac{10x-44}{x^2-4x+20}dx\]

Z góry dziękuję.
Pozdrawiam

[korki_fizyka]

Spróbuj tak jak tutaj:
https://forum.zadania.info/viewtopic.ph ... 88#p354588
https://www.matmana6.pl/calkowanie-funk ... mki-proste
https://www.youtube.com/watch?v=025BdPr17tM
https://pre-epodreczniki.open.agh.edu.p ... go+rodzaju

lub skorzystaj z kalkulatora.

[eresh]

1. \[\int\frac{2x-1}{x^2-6x+9}dx\]

\(\int\frac{2x-1}{x^2-6x+9}dx=\int\frac{2x-6+5}{x^2-6x+9}dx=\int\frac{2x-6}{x^2-6x+9}dx+\int\frac{5dx}{(x-3)^2}=\ln(x^2-6x+9)-\frac{5}{x-3}+C\)

[eresh]

2. \[\int\frac{x-1}{4x^2-4x+1}dx\]

\(\int\frac{x-1}{4x^2-4x+1}dx=\frac{1}{8}\int\frac{8x-4-4}{4x^2-4x+1}=\frac{1}{8}\int\frac{8x-4}{4x^2-4x+1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{dx}{(2x-1)^2}=\frac{1}{8}\ln(4x^2-4x+1)+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2x-1}+C\)

[eresh]

3. \[\int\frac{2x-20}{x^2-8x+25}dx\]

\(\int\frac{2x-20}{x^2-8x+25}dx=\int\frac{2x-8-12}{x^2-8x+25}dx=\ln|x^2-8x+25|-12\int\frac{dx}{(x-4)^2+9}=\ln(x^2-8x+25)-4\arctg\frac{x-4}{3}+C\)

\(\int\frac{dx}{(x-4)^2+9}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(\frac{x-4}{3})^2+1}=\frac{1}{9}\cdot 3\arctg\frac{x-4}{3}\)

[eresh]

4. \[\int\frac{10x-44}{x^2-4x+20}dx\]

\(\int\frac{10x-44}{x^2-4x+20}dx=\int\frac{5(2x-4)-24}{x^2-4x+20}dx=5\int\frac{2x-4}{x^2-4x+20}dx-24\int\frac{1}{(x-2)^2+16}dx=5\ln|x^2-4x+20|-24\cdot\frac{4}{16}\arctg\frac{x-2}{4}+C\)

[korki_fizyka]

1. \[\int\frac{2x-1}{x^2-6x+9}dx\]

\(\int\frac{2x-1}{x^2-6x+9}dx=\int\frac{2x-6+5}{x^2-6x+9}dx=\int\frac{2x-6}{x^2-6x+9}dx+\int\frac{5dx}{(x-3)^2}=\ln(x^2-6x+9)-\frac{5}{x-3}+C\)

Zgadza się

[..] skorzystaj z kalkulatora.

Generalnie tego typu całki rozwiązuje się na jedno kopyto:

1.wyróżnik mianownika \(\Delta \ge 0\) czyli da się rozłożyć na ułamki proste
2.\(\Delta < 0\) , to trójmian sprowadzamy do postaci kanonicznej

O tym i innych sztuczkach można poczytać w starych podręcznikach Krysickiego i Włodarskiego lub Fichtenholza oraz w nowszym https://ksiegarnia.pwn.pl/Calki-Metody- ... 905,p.html wraz z setkami podobnych rozwiązanych przykładów.

Radzę zajrzeć