parametry

[Filip25]

Wyznacz parametry \(A\) i \(B\) tak, aby funkcja była ciągła:

\(f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-4}{ \sqrt[3]{x+2} }&\text{ dla } & x<-2\\ Ax+B&\text{ dla } & x \in \left[-2,0 \right]\\(1+\sin(x^2))^{ \frac{1}{x} }&\text{ dla } & x>0\end{cases} \)

[Jerry]

Ponieważ
\(\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^3}{{x+2} }}=0\wedge \Lim_{x\to-2^+}f(x)=f(-2)=-2A+B\)
oraz
\(\Lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=B\wedge\Lim_{x\to0^+}(1+\sin x^2)^{1\over x}=
\Lim_{x\to0^+}\left[(1+\sin x^2)^{1\over\sin x^2}\right]^{{\sin x^2\over x^2}\cdot x}=e^{1\cdot0}=1\)
to wobec ciągłości funkcji w przedziałach określoności trzeba i wystarczy:
\[\begin{cases}0=-2A+B\\ B=1\end{cases}\]
Pozdrawiam

[Filip25]

Dlaczego pierwiastek trzeciego stopnia dąży do zera??

[radagast]

Bo pod nim siedzi zero

[Filip25]

\(\lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^3}{{x+2} }}=0\)

dlaczego zero?

[radagast]

najpierw skróć ułamek przez (x+2), a potem podstaw -2 za x

[Filip25]

ale to jest -2 z lewej strony, nie samo -2

[Jerry]

Powoli:
\(\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^3}{{x+2} }}=\Lim_{x\to-2^-}\sqrt[3]{\frac{(x-2)^3(x+2)^2}{1 }}=\sqrt[3]{\frac{(-4)^3\cdot0^2}{1 }}=0\)

Pozdrawiam