Oblicz całkę

[peresbmw]

\(\int_{}^{} \frac{1}{1+2 \cos ^2 x} dx\)

[grdv10]

Podstawiamy \(\tg x=t\), skąd \(\sin x=t\cos x\), zatem \(\sin^2x=t^2\cos^2x\), a więc skoro \(\sin^2x+\cos^2x=1,\)to \(t^2\cos^2x+\cos^2x=1\), co daje nam\[\cos^2x=\frac{1}{1+t^2}.\]Z kolei z podstawienia wnosimy \(x=\arctg t\), a więc\[dx=\frac{dt}{1+t^2}.\]Po podstawieniu tego do całki dostajemy\[\int\frac{dt}{t^2+3}.\]Jest to całka związana z arcus tangensem. Wstawiamy \(t=u\sqrt{3}\)otrzymując \(dt=\sqrt{3}du\), a zatem dostaniemy całkę\[\int\frac{\sqrt{3}du}{3u^2+3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\int\frac{du}{u^2+1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\arctg u+C.\]Ale \(u=\frac{\sqrt{3}}{3}t,\) więc ostatecznie nasza całka wynosi
\[\frac{\sqrt{3}}{3}\arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\tg x\right)+C.\]