zbadaj ciągłość jednostajną funkcji \(f:R \to R\), która spełnia warunek:
\( f(x)-f(y) \le (x-y)^2\)
ciągłość
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: ciągłość
Zamieniając rolami \(x,y\) i biorąc pod uwagę, że \(x-y)^2=(y-x)^2\) otrzymamy\[f(y)-f(x)\leqslant(x-y)^2,\]skąd w połączeniu z wyjściowym warunkiem mamy\[|f(x)-f(x)|\leqslant(x-y)^2.\]Stąd wynika jednostajna ciągłość.
Istotnie, ustalmy \(\varepsilon>0.\) Weźmy \(\delta=\sqrt{\varepsilon}\) oraz załóżmy, że \(|x-y|<\delta\), czyli \((x-y)^2<\varepsilon\). Zatem\[|f(x)-f(x)|\leqslant(x-y)^2<\varepsilon,\]co dowodzi jednostajnej ciągłości.
Wspomniany warunek nazywamy warunkiem Höldera z wykładnikiem \(2\). Funkcja spełniająca warunek Höldera z dowolnym wykładnikiem \(\alpha>0\) jest jednostajnie ciągła (w polskiej Wikipedii jest błąd).
Istotnie, ustalmy \(\varepsilon>0.\) Weźmy \(\delta=\sqrt{\varepsilon}\) oraz załóżmy, że \(|x-y|<\delta\), czyli \((x-y)^2<\varepsilon\). Zatem\[|f(x)-f(x)|\leqslant(x-y)^2<\varepsilon,\]co dowodzi jednostajnej ciągłości.
Wspomniany warunek nazywamy warunkiem Höldera z wykładnikiem \(2\). Funkcja spełniająca warunek Höldera z dowolnym wykładnikiem \(\alpha>0\) jest jednostajnie ciągła (w polskiej Wikipedii jest błąd).