ciągłość

[Filip25]

zbadaj ciągłość jednostajną funkcji \(f:R \to R\), która spełnia warunek:
\( f(x)-f(y) \ge x-y\)

[grdv10]

Zakładając ten warunek dla dowolnych \(x,y\) po pomnożeniu przez \(-1\) mamy\[f(y)-f(x)\leqslant y-x,\] a zatem (zamieniając rolami \(x\) i \(y\)) mamy \[f(x)-f(y)\leqslant x-y,\] skąd ostatecznie\[f(x)-f(y)=x-y\]dla wszystkich \(x,y\in\rr.\) Więc w szczególności\[|f(x)-f(y)|=|x-y|\] i w oczywisty sposób funkcja \(f\) jest jednostajnie ciągła.

Co więcej, biorąc \(y=0\) otrzymamy\[f(x)-f(0)=x,\]czyli\[f(x)=x+f(0),\] a funkcja liniowa jest jednostajnie ciągła.