ciągłość

[Filip25]

zbadaj ciągłość jednostajną funkcji \(f:R \to R\), która spełnia warunek:
\( |f(x)-f(y)| \ge |x-y|\)

[grdv10]

EDIT

Uwaga! Tu nie osiągnąłem celu, bo wykazałem jedynie, że jeśli zachodzi nasz warunek, a funkcja jest bijekcją, to jej funkcja odwrotna jest jednostajnie ciągła. Zatem nie ma się to nijak do tematu zadania. Tekst zostawiam. Jak napisałem dwa posty niżej, mam podejrzenie co do kontrprzykładu. Ale dziś jestem zbyt zmęczony, aby to sprawdzić.

Jeśli funkcja jest bijekcją, to ustalając \(u,v\in\rr\) i przyjmując \(x=f^{-1}(u),\ y=f^{-1}(v)\) otrzymamy\[|u-v|\geqslant|f^{-1}(u)-f^{-1}(v)|,\]a to daje warunek Lipschitza, czyli jednostajną ciągłość funkcji \(f^{-1}\). Stąd czasem możemy uzyskać i ciągłość funkcji \(f\). W chwili obecnej wiem zatem, że taka funkcja może być jednostajnie ciągla. Oczywiście istnieje bijekcja spełniająca zadany warunek, np. \(f(x)=x+c\). Tak więc jeśli szukać funkcji, która nie jest jednostajnie ciągła, trzeba ograniczyć się do funkcji nie będących bijekcjami. W chwili obecnej mam zbyt mało czasu na zastanowienie się nad tym.

[Filip25]

hmmm a jest jakiś inny sposób na to czy tylko w ten sposób?

[grdv10]

Jeszcze nie znam pełnego rozwiązania. Podejrzewam, że istnieje funkcja spełniająca ten warunek, która nie jest jednostajnie ciągła.

Mam podejrzenie, że funkcja \(f(x)=x\sqrt{|x|}\) spełnia podany warunek, ale nie jest jednostajnie ciągła na całym \(\rr\). Zobacz arkusz Desmosa. https://www.desmos.com/calculator/k3ecj0qngz