Zbadać zbieżność

[LuckyLuck]

Zbadać zbieżność całki niewłaściwej \[\int_{0}^{ \frac{ \pi }{2 } } \frac{ \cos x}{(1- \sin x) ^{ \frac{3}{2} } }dx.\]

[grdv10]

Po podstawieniu \(t=1-\sin x\) mamy\[\int_0^1\frac{dt}{t^{3/2}}\]i jest to całka rozbieżna, co można policzyć bezpośrednio.

[LuckyLuck]

Ok to całka nie oznaczona wyszła mi \(\frac{-2}{ \sqrt{1- \sin x} } \) jak chce obliczyć oznaczona to mi nic nie wychodzi

[grdv10]

A po co wracać do \(x\)? Możesz oczywiście policzyć granicę tego wyrażenia przy \(x\to\frac{\pi}{2}^-.\) Ale znacznie łatwiej obliczyć granicę całki z \(t\).

[LuckyLuck]

No dobra to dla t wychodzi \(\frac{-2}{ \sqrt{t} } \) ale przecież nie mogę podstawić 0

[grdv10]

A wiesz, jaka jest definicja całki niewłaściwej? Granica prawostronna w zerze.