Własności Darboux

[__Ler]

Dobry wieczór, czy mógłby mi ktoś powiedziec jakie jeszcze, oprócz wyznaczania pierwiastków ma zastosowania twierdzenie darboux.
Na przykład kompletnie nie rozumiem co wnosi do tego zadania: "udowodnij, że jeśli funckja jest monotoniczna na przedziale (a,b) i ma własność Darboux, to jest ciągła na (a,b)". Więc chciałbym generalnie wiedzieć jak mozna te własności wykorzystywac w zadaniach dowodowych:)

[grdv10]

Jeśli funkcja jest monotoniczna, to ma w każdym punkcie przedziału \((a,b)\) granice jednostronne. Tak więc jeśli mamy punkt nieciągłości \(x_0\), to granice jednostronne w tym punicie istnieją i są różne. Zatem w pewnym przedziale \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) funkcja nie przyjmuje żadnej wartości pośredniej pomiędzy granicami jednostronnymi, bo jest monotoniczna. Przeczy to własności Darboux, więc funkcja nie może mieć żadnego punktu nieciągłości.