Ekstremum warunkowe

[pawek98p]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania

Użyteczność koszyka złożonego z dwóch towarów o ilościach \(x_1,x_2\) wyraża się wzorem \(u(x_1,x_2)=x_1^{0,6}\cdot x_2^{0,4}\). Wyznacz koszyk, jeśli ceny jednostkowe towarów wynoszą odpowiednio \(2\) i \(3\), a budżet wynosi \(10\).

Wiem tylko, że \(g(x)= 2x_1 + 3x_2 - 10\)

[uziom]

Zadanie można rozwiązać, wykorzystując metodę Lagrange'a do znajdowania ekstremów funkcji z ograniczeniami. Ograniczeniem w tym zadaniu jest budżet, czyli równanie \(2x_1 + 3x_2 = 10\). Aby wykorzystać metodę Lagrange'a, tworzymy funkcję pomocniczą \(L(x_1, x_2, \lambda) = u(x_1, x_2) - \lambda (2x_1 + 3x_2 - 10)\), gdzie \(\lambda\) jest mnożnikiem Lagrange'a.

Następnie szukamy punktów, w których gradient funkcji \(L(x_1, x_2, \lambda)\) jest równy zeru:
\(\frac{\partial L}{\partial x_1} = 0.6x_1^{-0.4}x_2^{0.4} - 2\lambda = 0\)
\(\frac{\partial L}{\partial x_2} = 0.4x_1^{0.6}x_2^{-0.6} - 3\lambda = 0\)
\(\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 2x_1 + 3x_2 - 10 = 0\)

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy:
\(x_1 = \frac{100}{17}, x_2 = \frac{50}{17}\)
\(\lambda = \frac{5}{17}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{0.6} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{0.4}\)

Koszyk, który maksymalizuje funkcję użyteczności, a jednocześnie mieści się w budżecie, to koszyk zawierający \(\frac{100}{17}\) jednostek towaru pierwszego oraz \(\frac{50}{17}\) jednostek towaru drugiego.

[janusz55]

Czy rzeczywiście dla tej zawartości koszyka, funkcja użyteczności osiąga maksimum?

Proszę sprawdzić określoność drugiej różniczki.