Ciągłość jednostajna funkcji.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Ciągłość jednostajna funkcji.
Dana jest funkcja ciągła \(f: \rr \to \rr\) taka, że \(\Lim_{x\to + \infty } f(x)= \Lim_{x\to - \infty } f(x)=1\). Udowodnić że funkcja \(f(x\)) jest jednostajnie ciągła.
Ostatnio zmieniony 29 gru 2022, 18:03 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 
.
\(e^{i\pi}+1=0\)
.\(e^{i\pi}+1=0\)
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Ciągłość jednostajna funkcji.
Niech \(\varepsilon>0\). Istnieje \(m\in\rr\) takie, że jeśli \(|x|\geqslant m\), to \(\left|f(x)-1\right|<\frac{\varepsilon}{2}.\)
Funkcja \(f\) jest oczywiście jednostajnie ciągła w przedziale \([-m,m]\). Istnieje więc \(\delta>0\) taka, że jeśli \(|x-y|<\delta\) oraz \(x,y,\in[-m,m]\), to \(|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.\) Jeśli \(x,y>m\) lub \(x,y<-m\) oraz \(|x-y|<\delta\), to\[|f(x)-f(y)|\leqslant|f(x)-1|+|f(y)-1|<\varepsilon.\]Jeśli \(x\leqslant m<y\) oraz \(|x-y|<\delta\), to\[|f(x)-f(y)|\leqslant |f(x)-f(m)|+|f(m)-f(y)|<\varepsilon.\]Podobnie gdy \(x<-m\leqslant y\) oraz \(|x-y|<\delta.\) Dowód został zakończony. Pokazałem bowiem, że dla każdego \(\varepsilon>0\) istnieje \(\delta>0\) taka, że jeśli \(x,y\in\rr\) oraz \(|x-y|<\delta\), to \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon.\)
Funkcja \(f\) jest oczywiście jednostajnie ciągła w przedziale \([-m,m]\). Istnieje więc \(\delta>0\) taka, że jeśli \(|x-y|<\delta\) oraz \(x,y,\in[-m,m]\), to \(|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.\) Jeśli \(x,y>m\) lub \(x,y<-m\) oraz \(|x-y|<\delta\), to\[|f(x)-f(y)|\leqslant|f(x)-1|+|f(y)-1|<\varepsilon.\]Jeśli \(x\leqslant m<y\) oraz \(|x-y|<\delta\), to\[|f(x)-f(y)|\leqslant |f(x)-f(m)|+|f(m)-f(y)|<\varepsilon.\]Podobnie gdy \(x<-m\leqslant y\) oraz \(|x-y|<\delta.\) Dowód został zakończony. Pokazałem bowiem, że dla każdego \(\varepsilon>0\) istnieje \(\delta>0\) taka, że jeśli \(x,y\in\rr\) oraz \(|x-y|<\delta\), to \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon.\)