Znajdź wszystkie trójki liczb rzeczywistych (a, b, c) spełniające układ równań:
\[\begin{cases} a^3+b^2c=ac \\ b^3+c^2a=ba \\ c^3+a^2b=cb \end{cases}\]
Układ równań
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Układ równań
Ostatnio zmieniony 24 gru 2022, 12:44 przez grdv10, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj tagów [tex][/tex].
Powód: Używaj tagów [tex][/tex].
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając .
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Układ równań
Rozwiązanie uzyskaliśmy wspólnie z użytkowniczką iwanka
Łatwo zauważyć, że jeśli \(a=0\), to również \(b=c=0.\) Podobnie jest, gdy \(b=0\) lub \(c=0\). Stąd trójka \(a=0,\ b=0,\ c=0\) jest rozwiązaniem. Dalej załóżmy, że wszystkie liczby \(a,b,c\) są różne od zera. Wtedy mnożymy stronami pierwsze równanie przez \(b\), drugie przez \(c\), a trzecie przez \(a\). Dodając stronami dojdziemy do równania\[2(a^3b+b^3c+c^3a)=3abc.\]Patrząc na dwa pierwsze składniki lewej strony i porównując z pierwszym równaniem otrzymamy \(2abc+2c^3a=3abc\), skąd łatwo dostaniemy \(b=2c^2\). Podobnym sposobem dostaniemy też, że \(a=2b^2\) oraz \(c=2a^2.\) A stąd już łatwo wywnioskować, że \(a=b=c=\frac{1}{2}.\)
EDIT To rozwiązanie zgadza się z pierwszym rozwiązaniem ze strony OM. Drugie z tych rozwiązań jest bardzo eleganckie, bo natychmiast dochodzi się do wspomnianego powyżej układu trzech równań \(a=2b^2\) itd.
Łatwo zauważyć, że jeśli \(a=0\), to również \(b=c=0.\) Podobnie jest, gdy \(b=0\) lub \(c=0\). Stąd trójka \(a=0,\ b=0,\ c=0\) jest rozwiązaniem. Dalej załóżmy, że wszystkie liczby \(a,b,c\) są różne od zera. Wtedy mnożymy stronami pierwsze równanie przez \(b\), drugie przez \(c\), a trzecie przez \(a\). Dodając stronami dojdziemy do równania\[2(a^3b+b^3c+c^3a)=3abc.\]Patrząc na dwa pierwsze składniki lewej strony i porównując z pierwszym równaniem otrzymamy \(2abc+2c^3a=3abc\), skąd łatwo dostaniemy \(b=2c^2\). Podobnym sposobem dostaniemy też, że \(a=2b^2\) oraz \(c=2a^2.\) A stąd już łatwo wywnioskować, że \(a=b=c=\frac{1}{2}.\)
EDIT To rozwiązanie zgadza się z pierwszym rozwiązaniem ze strony OM. Drugie z tych rozwiązań jest bardzo eleganckie, bo natychmiast dochodzi się do wspomnianego powyżej układu trzech równań \(a=2b^2\) itd.