całki - pomoc

[taneltatius]

Nie potrafię rozwiązać tej całki:
\(\int \frac{dx}{x^4+x^3+x^2}\)

Symolab podpowiada że należy rozbić na:
\(\int \left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{x}{x^2+x+1}\right)dx\)
Ale nie wiem w jaki sposób.

[eresh]

Nie potrafię rozwiązać tej całki:
\(\int \frac{dx}{x^4+x^3+x^2}\)

Symolab podpowiada że należy rozbić na:
\(\int \:-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{x}{x^2+x+1}dx\)
Ale nie wiem w jaki sposób.

\(x^4+x^3+x^2=x^2(x^2+x+1)\\
\frac{1}{x^4+x^3+x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}\\
1=Ax(x^2+x+1)+B(x^2+x+1)+(Cx+D)x^2\\
1=Ax^3+Ax^2+Ax+Bx^2+Bx+B+Cx^3+Dx^2\\
1=x^3(A+C)+x^2(A+B+D)+x(A+B)+B\\
\begin{cases}A+C=0\\A+B+D=0\\A+B=0\\B=1\end{cases}\\
\begin{cases}B=1\\A=-1\\C=1\\D=0\end{cases}\\
\frac{1}{x^4+x^3+x^2}=\frac{-1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{x}{x^2+x+1}\\\)

[Jerry]

Rozkład na sumę ułamków prostych w tym przypadku wygląda tak:
\(\frac{1}{x^2(x^2+x+1)}\equiv\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}\\
\frac{1}{x^4+x^3+x^2}\equiv \frac{(A+C)x^3+(A+B+D)x^2+(A+B)x+B}{x^4+x^3+x^2}\)
Zatem
\(\begin{cases}A+C=0\\A+B+D=0\\A+B=0\\B=1\end{cases}\iff\begin{cases}A=-1\\B=1\\C=1\\D=0\end{cases}\)

Pozdrawiam

[taneltatius]

faktycznie, nie zauważyłem że Cx^3, dziękuję wszystkim za pomoc!