całki - pomoc w zadaniu

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mikolajkapica
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 10 wrz 2022, 16:34

całki - pomoc w zadaniu

Post autor: mikolajkapica »

Mam do obliczenia całkę:
\(\int{1\over{t+1}}dt\)

Obliczyłem ją na dwa sposoby, nie rozumiem dlaczego wynik wychodzi inny.

\(\int{1\over{t+1}}dt\)=\(\int{du\over{u}}=ln|u|+C\)
\(u = t + 1\)
\(du = dt\)

\(\int{1\over{t+1}}dt=\int{1\over{\sqrt{t}^2+1^2}}dt = \arctg{\sqrt{t}} + C\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: radagast »

Drugi sposób jest błędny.
Zawsze, w przypadku kiedy licznik jest pochodną mianownika to całka jest logarytmem naturalnym z modułu mianownika :)
mikolajkapica
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 10 wrz 2022, 16:34

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: mikolajkapica »

A czy można to wytłumaczyć z czysto matematycznego/arytmetycznego punktu widzenia?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3462
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: Jerry »

mikolajkapica pisze: 13 wrz 2022, 09:15 A czy można to wytłumaczyć z czysto matematycznego/arytmetycznego punktu widzenia?
To znaczy... ?
\[\int{1\over{t+1}}dt=\arctg{\sqrt{t}} + C\iff(\arctg{\sqrt{t}})' \nad{\color{red}{?}}{=}{1\over{t+1}} \]
Pozdrawiam
EsteraB984
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 29 mar 2022, 10:02
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: EsteraB984 »

mikolajkapica pisze: 12 wrz 2022, 16:47 Mam do obliczenia całkę:
\(\int{1\over{t+1}}dt\)

Obliczyłem ją na dwa sposoby, nie rozumiem dlaczego wynik wychodzi inny.

\(\int{1\over{t+1}}dt\)=\(\int{du\over{u}}=ln|u|+C\)
\(u = t + 1\)
\(du = dt\)

\(\int{1\over{t+1}}dt=\int{1\over{\sqrt{t}^2+1^2}}dt = \arctg{\sqrt{t}} + C\)
Ojj pamiętam całki, był to jeden z warunków koniecznych do zdania pierwszego roku na wydziale chemii. Doskonale pamietam pierwszy sposób, metoda podstawiania. Drugiej metody nie kojarzę.. Dobrym wg mnie oczywiście, podręcznikiem do ćwiczenia całek jest Krysicki Włodarski- mnie ta książka pomogła, a polecana była z kolei przez pana dr - z którym miałam ćwiczenia, przez profesora już mniej - on to zawsze polecał podręcznik Franciszka Lei , studenci wyższych lat.
maria19
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 363
Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
Podziękowania: 346 razy
Otrzymane podziękowania: 95 razy

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: maria19 »

A dla jeszcze bardziej wiekowych/zaawansowanych "Rachunek rożniczkowy i całkowy" G.Fischtenholza w 3 tomach.
mikolajkapica
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 10 wrz 2022, 16:34

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: mikolajkapica »

Jerry pisze: 13 wrz 2022, 10:09
mikolajkapica pisze: 13 wrz 2022, 09:15 A czy można to wytłumaczyć z czysto matematycznego/arytmetycznego punktu widzenia?
To znaczy... ?
\[\int{1\over{t+1}}dt=\arctg{\sqrt{t}} + C\iff(\arctg{\sqrt{t}})' \nad{\color{red}{?}}{=}{1\over{t+1}} \]
Pozdrawiam
Nadal nie rozumiem do końca, bo gdyby założyć że:
\(u^2=t\)
To dostajemy całkę:
\(\int{{1}\over{t+1}}dt=\int{{1}\over{u^2+1^2}}dt = ..\)
I zgodnie ze wzorem całkowym:
\(\int{{dx}\over{x^2+a^2}} = {{1}\over{a}}arctg{{x}\over{a}}+C\)
Dlatego:
\(\int{{1}\over{u^2+1^2}}dt = {{1}\over{1}}arctg{{u}\over{1}}+C= arctgu+C=arctg\sqrt{t}+C\)
Bardzo zależy mi na tym problemie, proszę o pomoc
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: radagast »

mikolajkapica pisze: 14 wrz 2022, 16:14
Nadal nie rozumiem do końca, bo gdyby założyć że:
\(u^2=t\)
To dostajemy całkę:
\(\int{{1}\over{t+1}}dt=\int{{1}\over{u^2+1^2}}dt = ..\)
no właśnie.
Teraz trzeba wyrazić dt przez du :
\(u^2=t\)
\( \frac{dt}{du}=2u \)
\(dt=2udu\)
\(\int{{1}\over{t+1}}dt=\int{{1}\over{u^2+1^2}}dt = \int{{2u}\over{u^2+1^2}} du=\ln |u^2+1|+C=\ln |t+1|+C\)
mikolajkapica
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 10 wrz 2022, 16:34

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: mikolajkapica »

Rozumiem już! Dziękuję za pomoc!
EsteraB984
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 29 mar 2022, 10:02
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: całki - pomoc w zadaniu

Post autor: EsteraB984 »

maria19 pisze: 14 wrz 2022, 11:57 A dla jeszcze bardziej wiekowych/zaawansowanych "Rachunek rożniczkowy i całkowy" G.Fischtenholza w 3 tomach.
Też kojarzę ;)
ODPOWIEDZ