Pochodne cząstkowe, Ekstremum, Macierze drugich pochodnych,

[Ronald de Bree]

Dostałem takie zadanie a w żadnym stopniu nie ogarniam tego tematu
dlatego bardzo bym prosił gdyby mógł mi to ktoś to rozwiązać najprościej jak jest to możliwe, najlepiej krok po kroku.

Dla funkcji
\(f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy\)

a) Oblicz obie pochodne cząstkowe.
b) Znaleźć punkty, w których może być ekstremum.
c) Obliczyć macierz drugich pochodnych cząstkowych.
d) Określić rodzaj punktu ekstremalnego (maksimum, minimum, siodło)

Z góry dziękuje za poświęcony czas

[eresh]

Dostałem takie zadanie a w żadnym stopniu nie ogarniam tego tematu
dlatego bardzo bym prosił gdyby mógł mi to ktoś to rozwiązać najprościej jak jest to możliwe, najlepiej krok po kroku.

Dla funkcji
f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy

a) Oblicz obie pochodne cząstkowe.

\(\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-3y\\
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-3x\)

[eresh]

Dostałem takie zadanie a w żadnym stopniu nie ogarniam tego tematu
dlatego bardzo bym prosił gdyby mógł mi to ktoś to rozwiązać najprościej jak jest to możliwe, najlepiej krok po kroku.

Dla funkcji
f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy


b) Znaleźć punkty, w których może być ekstremum.

do rozwiązania układ
\(\begin{cases}3x^2-3y=0\\3y^2-3x=0\end{cases}\\
\)

otrzymujemy punkty
\((0,0),(1,1), (-1,1)\)

[eresh]

Dostałem takie zadanie a w żadnym stopniu nie ogarniam tego tematu
dlatego bardzo bym prosił gdyby mógł mi to ktoś to rozwiązać najprościej jak jest to możliwe, najlepiej krok po kroku.

Dla funkcji
\(f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy\)


c) Obliczyć macierz drugich pochodnych cząstkowych.

\(\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=6x\\
\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=6y\\
\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}=-3\)


\(\begin{vmatrix}\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0)&\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\\\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)&\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\end{vmatrix} \)

[eresh]

Dostałem takie zadanie a w żadnym stopniu nie ogarniam tego tematu
dlatego bardzo bym prosił gdyby mógł mi to ktoś to rozwiązać najprościej jak jest to możliwe, najlepiej krok po kroku.

Dla funkcji
\(f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy\)


d) Określić rodzaj punktu ekstremalnego (maksimum, minimum, siodło)

dla \((0,0)\)
\(\begin{vmatrix}0&-3\\-3&0 \end{vmatrix}=-9<0 \) - brak ekstremum


dla \((1,1)\)
\(\begin{vmatrix}6&-3\\-3&6 \end{vmatrix}=36-9>0\;\; \wedge\;\;\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(1,1)>0 \)
minimum w \((1,1)\)

dla \((-1,1)\)
\(\begin{vmatrix}-6&-3\\-3&6 \end{vmatrix}=-36-9<0 \)
brak ekstremum