Całka podwójna

[hutsaloviaheslav1998]

Przerabiam temat całek podwójnych, w których jedna z granic całkowania nie jest stała. Przykład dotyczący problemu jest taki:
\(
\int_{0}^{1} \int_{y}^{2y} \left( xy - y^{2}\right)^\frac{3}{4}dxdy
\)
Na razie wiem że jeśli mam całke podwójną, w której jedna z granic nie jest stała to całkuje po zmiennej jej odpowiadającej. Czyli wykonuje w tym momencie całkowanie przez podstawienie:
\(
xy - y^{2} = t
\\
dt = ydx / : y
\\
\frac{dt}{y} = \frac{ydx}{y}
\\
\frac{dt}{y} = dx
\)
I moje pierwsze pytanie już pojawia się tutaj(pytam bo robiliśmy to na zajęciach a nie wszystko załapałem). Dlaczego w tej linijce
\(
dt = ydx / : y
\)
jest y. Skąd się wzięło tutaj y. A druga rzecz to to że w dalszej część zmieniły się granice całkowania:
\(
\int_{0}^{1} \int_{y}^{2y} t^\frac{3}{4} \cdot \frac{dt}{y}dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}}
\)
Teraz czemu w linijce wyżej najpierw było tak jak na początku
\(
\int_{0}^{1} \int_{y}^{2y}
\)
natomiast teraz jest
\(
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}}
\)

[eresh]

I moje pierwsze pytanie już pojawia się tutaj(pytam bo robiliśmy to na zajęciach a nie wszystko załapałem). Dlaczego w tej linijce
\(
dt = ydx / : y
\)
jest y. Skąd się wzięło tutaj y.

\(xy-y^2=t\) różniczkujemy po zmiennej x (traktujemy y jako stałą):
\((xy)'_x=y\\
(y^2)'_x=0\\
ydx=dt\\
dx=\frac{dt}{y}\)

[eresh]

A druga rzecz to to że w dalszej część zmieniły się granice całkowania:
\(
\int_{0}^{1} \int_{y}^{2y} t^\frac{3}{4} \cdot \frac{dt}{y}dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}}
\)
Teraz czemu w linijce wyżej najpierw było tak jak na początku
\(
\int_{0}^{1} \int_{y}^{2y}
\)
natomiast teraz jest
\(
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}}
\)

podstawienie powoduje zmianę granic całkowania

\(t=xy-y^2\\\)
dla \(x=y\) mamy \(t=yy-y^2=0\)
dla \(x=2y\) mamy \(t=2yy-y^2=y^2\)