Podaj punkty, w których funkcja\( f(x)=-|x| \) osiąga ekstrema. Określ, czy są to maksima, czy minima. Czy istnieje styczna do wykresu w tych punktach? Czy istnieje pochodna funkcji w tych punktach?
Jeżeli narysujemy sobie wykres funkcji f, to możemy zauważyć, że ekstremum lokalne przypada dla \(x_0=0\) i jest to maksimum. Aby odpowiedzieć czy istnieje styczna do wykresu funkcji musimy odpowiedzieć na pytanie czy istnieje pochodna funkcji f w punkcie \(x_0=0\), zatem
\(f'(x)=f' (-|x|)= \begin{cases} \ f'( -x)& \text{dla} &x \ge 0\\\ f'( x)& \text{dla}&x<0\end{cases}= \begin{cases} \ -1& \text{dla}& x \ge 0\\\ 1& \text{dla}&x<0\end{cases}\).
Zatem otrzymałem, że pochodna funkcji, a zatem i granica funkcji w punkcie nie jest taka sama, zatem nie istnieje pochodna funkcji f w punkcie \(x_0=0\). Skoro nie istnieje pochodna funkcji w punkcie, to nie ma również stycznej do wykresu funkcji. Czy takie rozumowanie jest poprawne? Czy tak może wyglądać rozwiązanie tego zadania?
Pochodna, ekstrema
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3511
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1918 razy
Re: Pochodna, ekstrema
Wg mnie - tak!
Wg mnie - są błędy formalnie i rzeczowe! Powinno być:
\(f'(x)= \begin{cases} ( -x)'& \text{dla} &x \color{red}{>} 0\\ ( x)'& \text{dla}&x<0\end{cases}= \begin{cases} -1& \text{dla}& x \color{red}{>}0\\ 1& \text{dla}&x<0\end{cases}\).
I \(f'(0)=\) nie istnieje (jak napisałeś), bo pomimo ciągłości \(f\) zachodzi \(\Lim_{x\to0^-}f'(x)\ne\Lim_{x\to0^+}f'(x)\).
i dalej OK.
Pozdrawiam