Granica funkcji dwóch zmiennych

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jjjjjj
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 11 lis 2021, 21:35
Podziękowania: 31 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

Granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: jjjjjj »

Oblicz granicę \( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sin (x^3+y^3)}{x^2+y^2} \)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3458
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Jerry »

\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sin (x^3+y^3)}{x^2+y^2} =\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sin (x^3+y^3)}{x^3+y^3} \cdot\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=1\cdot0=0\)
bo
\(\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}x=0\)

Pozdrawiam
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 434
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 250 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Icanseepeace »

Jerry pisze: 12 cze 2022, 19:14 \( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \)
Jak mamy rozumieć ten zapis?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: radagast »

Icanseepeace pisze: 12 cze 2022, 20:53
Jerry pisze: 12 cze 2022, 19:14 \( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \)
Jak mamy rozumieć ten zapis?
\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=\Lim_{x\to0} x=0 \)
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 434
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 250 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Icanseepeace »

radagast pisze: 12 cze 2022, 21:57
Icanseepeace pisze: 12 cze 2022, 20:53
Jerry pisze: 12 cze 2022, 19:14 \( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \)
Jak mamy rozumieć ten zapis?
\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=\Lim_{x\to0} x=0 \)
Chodzi mi bardziej o to jak mam ten zapis rozumieć.
Najpierw liczę granicę po y a x traktuję jako stała?
Idąc tym tokiem rozumowania granica:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} \)
powinna zostać rozpisana jako:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{x\to0} \frac{x^2}{x^4} = \infty \)
czy jako:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{y\to0}\Lim_{x\to0} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{y\to0} \frac{y^8}{y^4} = 0 \)
Który z tych wyników jest poprawny?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3458
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Jerry »

Icanseepeace pisze: 13 cze 2022, 09:00 Chodzi mi bardziej o to jak mam ten zapis rozumieć.
Najpierw liczę granicę po y a x traktuję jako stała?
Tak, poszedłem po linii najmniejszego formalizmu... Wartości granicznej nie negujesz?
Icanseepeace pisze: 13 cze 2022, 09:00 Idąc tym tokiem rozumowania granica:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} \)
powinna zostać rozpisana ...
Nie, tym razem napisałbym np.:
Niech \(\begin{cases}x=at\\y=bt\end{cases}\wedge a^2+b^2>0\). Wtedy
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4}=\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2t^2 + b^8t^8}{a^4t^4 + b^4t^4}=
\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2 + b^8t^6}{t^2(a^4 + b^4)}=\begin{cases}0&\text{dla}& a=0\\ +\infty&\text{dla}&a\ne0\end{cases}\)
Czyli granica nie istnieje!
Wg mnie w granicy z wątku nie było to konieczne, chociaż zgodzę się z Tobą, że mogłem przynajmniej napisać również granicę po \(y\) z granicy po \(x\) ...

Pozdrawiam

[edited] poprawa redakcji postu
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 434
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 250 razy
Płeć:

Re: Granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Icanseepeace »

Jerry pisze: 13 cze 2022, 12:54 Nie, tym razem napisałbym np.:
Niech \(\begin{cases}x=at\\y=bt\end{cases}\wedge a^2+b^2>0\). Wtedy
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4}=\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2t^2 + b^8t^8}{a^4t^4 + b^4t^4}=
\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2 + b^8t^6}{t^2(a^4 + b^4)}=\begin{cases}0&\text{dla}& a=0\\ +\infty&\text{dla}&a\ne0\end{cases}\)
Czyli granica nie istnieje!
Czyli tutaj nie możemy użyć twojego podejścia. Jesteś wstanie podać jakieś ograniczenia na funkcję tak aby jednak twoje przekształcenia dawały poprawny wynik? Pytam bo pierwszy raz spotykam się z takim sposobem podchodzenia do granicy dwóch zmiennych.
Jerry pisze: 13 cze 2022, 12:54 Wg mnie w granicy z wątku nie było to konieczne, chociaż zgodzę się z Tobą, że mogłem przynajmniej napisać również granicę po \(y\) z granicy po \(x\)
Niestety to za mało. Nawet jeżeli \( \Lim_{x\to0} \Lim_{y \to 0} f(x,y) \) oraz \( \Lim_{y\to0} \Lim_{x \to0} f(x,y) \) istnieją i są sobie równe \( g \) to nie musi oznaczać, że \( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = g \). Kontrprzykład można bardzo łatwo znaleźć.

Reasumując: Fajny sposób, ale jak dla mnie trochę ryzykowny(wydaje mi się, że musimy coś więcej wiedzieć o funkcji przed rozpoczęciem badania granicy). W szczególności, że mamy bardzo fajną i prostą w uzasadnieniu nierówność:
\( \left|\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} \right| \leq |x| + |y| \).
która również rozwiązuje problem.
ODPOWIEDZ