Zbadaj zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jjjjjj
- Rozkręcam się
- Posty: 54
- Rejestracja: 11 lis 2021, 21:35
- Podziękowania: 31 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
Zbadaj zbieżność szeregu
Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{n^n}{e^n n!} \)
Ostatnio zmieniony 07 cze 2022, 22:15 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa kodu: \limits
Powód: Poprawa kodu: \limits
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Zbadaj zbieżność szeregu
\( a_n = \frac{n^n}{n!e^n} \ , \ b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \) są ciagami o wyrazach dodatnich.
Wtedy:
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \Lim_{n\to \infty} \frac{n^n \sqrt{n}}{n! e^n} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \)
co na mocy kryterium porównawczego w postaci granicznej oznacza, że szeregi \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \ , \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.
Ponieważ szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \) jest rozbieżny to również i szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!e^n} \) jest rozbieżny.
Wtedy:
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \Lim_{n\to \infty} \frac{n^n \sqrt{n}}{n! e^n} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \)
co na mocy kryterium porównawczego w postaci granicznej oznacza, że szeregi \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \ , \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.
Ponieważ szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \) jest rozbieżny to również i szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!e^n} \) jest rozbieżny.