Oblicz całkę nieoznakowaną

[swirek60]

Oblicz całkę nieoznakowaną

I= \( \int ({2x+3}) arctg(\sqrt{({3x^2 + 2})} dx \)

PILNE Z GÓRY DZIĘKUJĘ ZA POMOC

[Iluminati91]

\(
I = (x^2+3x)arctg(\sqrt{3x^2+2})-\int (x^2+3x) \frac{1}{3x^2+3} \frac{1}{2\sqrt{3x^2+2}} \;dx
\\
J = \int (x^2+3x) \frac{1}{3x^2+3} \frac{1}{2\sqrt{3x^2+2}} \;dx = \int \frac{x(x^2+1+2)}{(x^2+1)\sqrt{3(x^2+1)-1}} \;dx
\\
(t=x^2+1 \So dt=2xdx)
\\
\\
J = \frac{1}{2} \int \frac{t+2}{t\sqrt{3t-1}} \;dx = \frac{1}{2} \int ( \frac{1}{\sqrt{3t-1}} + \frac{2}{t\sqrt{3t-1}}) \;dx
\\
\\
K_1 = \int \frac{1}{\sqrt{3t-1}} \;dx
\\
(u^2 = 3t - 1 \So 2u du = 3 dt)
\\
K_1 = \frac{2}{3} \int du = \frac{2}{3} u + C
\\
\\
K_2 = 2 \int \frac{1}{t\sqrt{3t-1}} \;dx
\\
(u=\sqrt{3t+1} \So du = \frac{3}{2\sqrt{3t+1}}dt )
\\
K_2 = 2 \int \frac{1}{u^2-1} \;du = ln \left| \frac{u-1}{u+1} \right|+ C
\\
\)
Ostatecznie:
\(
I = (x^2+3x)arctg(\sqrt{3x^2+2}) - \frac{1}{3}\sqrt{3x^2+2} - \frac{1}{2} ln \left| \frac{\sqrt{3x^2+2}-1}{\sqrt{3x^2+2}+1} \right| + C
\)