Zbadaj zbieżność szeregu

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Sway22
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 131
Rejestracja: 02 gru 2021, 22:58
Podziękowania: 44 razy
Płeć:

Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: Sway22 »

\(
zad.1 \\
a) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{2n+4}{2n-1} \\
b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n^2+1} \\
c) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^nn}{n^2+1} \\
d) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n(n+2)}{2n^3-1} \\
e) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n^2+1}{n^2+2} \\
f) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{1}{n^2} \\

zad.2 \\
a) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{4n}{2n+1} \\
b) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{4n}{2n^2+1} \\
c) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{4n}{2n^3+1} \\
\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: eresh »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 15:01 \(
zad.1 \\

b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n^2+1} \\

\)
\(a_n=\frac{1}{n^2+1}\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=0\\\)

\((a_n)\) jest malejący
na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Sway22
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 131
Rejestracja: 02 gru 2021, 22:58
Podziękowania: 44 razy
Płeć:

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: Sway22 »

a jak zrobić z szeregami w których \( \Lim_{n\to \infty } a_n \neq 0 \) i nie można skorzystać z kryterium Leibniza?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: radagast »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 15:01 \(
zad.1 \\
a) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{2n+4}{2n-1} \\
e) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n^2+1}{n^2+2}
\)
rozbieżne (nie jest spełniony warunek konieczny)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: radagast »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 15:01 \(
zad.1 \\

b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n^2+1} \\
f) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{1}{n^2} \\

\)
są zbieżne bezwzględnie, więc są zbieżne
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: radagast »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 15:01 \(
zad.1 \\
d) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n(n+2)}{2n^3-1} \\\)

\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n(n+2)}{2n^3-1} = \sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n \left[\frac{n}{2n^3-1}+ \frac{2}{2n^3-1} \right] \)
łatwo pokazać (posługując się kryterium porównawczym) , że seregi
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2n^3-1}\) oraz \( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{2n^3-1}\)
są zbieżne bezwzględnie zatem szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n(n+2)}{2n^3-1}\) jest zbieżny ( i to bezwzględnie).
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: radagast »

Sway22 pisze: 27 sty 2022, 15:01 \(

c) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^nn}{n^2+1} \\\)

\( \frac{n}{n^2+1} \ge 0\)
\( \Lim_{n\to \infty } \frac{n}{n^2+1} = 0\)
ciąg \( \left( \frac{n}{n^2+1}\right) \) jest nierosnący
zatem na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny (ale nie jest zbieżny bezwzględnie)
ODPOWIEDZ