Zbieżność szeregów

[Sway22]

Zbadaj zbieżność szeregów:
\(
a) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4n}{2n+1} \\
b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4n}{2n^2+1} \\
c) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4n}{2n^3+1}
\)

[eresh]

Zbadaj zbieżność szeregów:
\(
a) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4n}{2n+1} \\

\)

\(\Lim_{n\to\infty}\frac{4n}{2n+1}=2\neq 0\\\)
szereg rozbieżny

[eresh]

Zbadaj zbieżność szeregów:
\(

b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4n}{2n^2+1} \\

\)

\(\int\frac{4x}{2x^2+1}dx= \begin{bmatrix}2x^2+1=t\\
4xdx=dt \end{bmatrix}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|2x^2+1|+C\\
\int_1^{\infty}\frac{4xdx}{2x^2+1}=[\ln|2x^2+1|]_1^{\infty} =\infty\)
całka rozbieżna, szereg rozbieżny

[Sway22]

Zbadaj zbieżność szeregów:
\(

b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{4n}{2n^2+1} \\

\)

\(\int\frac{4x}{2x^2+1}dx= \begin{bmatrix}2x^2+1=t\\
4xdx=dt \end{bmatrix}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|2x^2+1|+C\\
\int_1^{\infty}\frac{4xdx}{2x^2+1}=[\ln|2x^2+1|]_1^{\infty} =\infty\)
całka rozbieżna, szereg rozbieżny

Czy takie rozwiązanie z kryterium porównawczego też jest dobre?:
\(
\frac{4n}{2n^2+1} \ge \frac{n}{2n^2+1} \ge \frac{n}{2n^2+n^2} = \frac{n}{3n^2} = \frac{1}{3n} \\

\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3n} \)
jest rozbieżny tak więc badany ciąg (z kryterium porównawczego) także jest rozbieżny.


I wtedy podpunkt c) tak samo?

[eresh]

Czy takie rozwiązanie z kryterium porównawczego też jest dobre?:
\(
\frac{4n}{2n^2+1} \ge \frac{n}{2n^2+1} \ge \frac{n}{2n^2+n^2} = \frac{n}{3n^2} = \frac{1}{3n} \\

\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3n} \)
jest rozbieżny tak więc badany ciąg (z kryterium porównawczego) także jest rozbieżny.


I wtedy podpunkt c) tak samo?

tak