Zbadaj zbieżność szeregów

[Sway22]

\(

a) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{n^2+1} \\
b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n-5)^n}{ \sqrt{n^n} } \\
c) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n(n+1)(n+2)} } \\
d) \sum_{n=1}^{ \infty } (- \frac{n+4}{2n-1} )^n \\
e) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{2n+4}{2n-1} \\
f) \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n} } \\
g) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n^2+1} \\
h) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n+1)5^n}{2^n \cdot 3^ \left( n+1 \right) } \\
i) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sin (n \sqrt{n}) }{n \sqrt{n} } \\
j) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} (\frac{2}{5} )^n \\
k) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ...(2n-1)}{4 \cdot 8 \cdot 12 ... 4n}
\)

[Sway22]

a) Wyszło mi z kryterium porównawczego:
\(
\frac{n+1}{n^2+1} \ge \frac{n}{n^2+1} \ge \frac{n}{n^2+n^2} = \frac{1}{2n}
\)
z czego wynika, że badany szereg jest rozbieżny.

b) staram się zrobić z kryt. Cauchego i wychodzi mi na razie:
\(
\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{(n-5)^n}{ \sqrt{n^n} } } = \Lim_{n\to \infty } \frac{n-5}{ \sqrt{n} }
\)
i nie wiem za bardzo co dalej

[eresh]

a) Wyszło mi z kryterium porównawczego:
\(
\frac{n+1}{n^2+1} \ge \frac{n}{n^2+1} \ge \frac{n}{n^2+n^2} = \frac{1}{2n}
\)
z czego wynika, że badany szereg jest rozbieżny.

b) staram się zrobić z kryt. Cauchego i wychodzi mi na razie:
\(
\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{(n-5)^n}{ \sqrt{n^n} } } = \Lim_{n\to \infty } \frac{n-5}{ \sqrt{n} }
\)
i nie wiem za bardzo co dalej

a) dobrze
b) nie spełnia warunku koniecznego

[eresh]

\(

c) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n(n+1)(n+2)} } \\\)

\(\frac{1}{\sqrt{n(n+1)(n+2)}}<\frac{1}{\sqrt{n^3}}=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)
\(\sum\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\) jest zbieżny, więc na mocy kryterium porównawczego szereg z zadania również jest zbieżny

[eresh]

\(

d) \sum_{n=1}^{ \infty } (- \frac{n+4}{2n-1} )^n \\

\)

\(\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|-\frac{n+4}{2n-1}|^n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{n+4}{2n-1}=\frac{1}{2}<1\)
zbieżny bezwzględnie

[eresh]

\(

f) \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n} } \\

\)

\(\Lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1\neq 0\)
szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności

[Sway22]

b) nie spełnia warunku koniecznego

jak to wykazac?

[eresh]

b) nie spełnia warunku koniecznego

jak to wykazac?

policzyć granicę
\(\Lim_{n\to\infty}\frac{(n-5)^n}{\sqrt{n^n}}\)

[eresh]

\(

i) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sin (n \sqrt{n}) }{n \sqrt{n} } \\

\)

\(\frac{\sin (n\sqrt{n})}{n\sqrt{n}}\leq\frac{1}{n\sqrt{n}}\)
\(\sum\frac{1}{n\sqrt{n}}\) jest zbieżny, więc szereg \( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sin (n \sqrt{n}) }{n \sqrt{n} }\) również jest zbieżny

[eresh]

\(

j) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} (\frac{2}{5} )^n \\

\)

\(\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot (\frac{2}{5})^n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\cdot (\frac{2}{5})=\frac{2}{5}<1\)
zbieżny

[eresh]

\(

h) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n+1)5^n}{2^n \cdot 3^ \left( n+1 \right) } \\

\)

\(\Lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\cdot 5^n\cdot 5\cdot 3^n\cdot 3\cdot 2^n}{2^n\cdot 2\cdot 3^n\cdot 3^2\cdot (n+1)\cdot 5^n}=\Lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)\cdot 15}{18(n+1)}=\frac{5}{6}<1\)
zbieżny