Oblicz granicę ciągów

[Sway22]

\(
a) \Lim_{x\to \infty } x \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) \\
b) \Lim_{x\to \infty } \left( \frac{1+2+...+n}{n+2} - \frac{n}{2} \right)
\)

[Jerry]

\(
a) \Lim_{x\to \infty } x \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right)
\)

\(
a) \Lim_{x\to \infty } x \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) =\Lim_{x\to \infty }\frac{ x \left( {x^2 + 1} - x^2 \right)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}={1\over2}
\)

Pozdrawiam

[Jerry]

\(
b) \Lim_{\color{red}{x}\to \infty } \left( \frac{1+2+...+n}{n+2} - \frac{n}{2} \right)
\)

Chodziło Ci o
\(\Limn \left( \frac{1+2+...+n}{n+2} - \frac{n}{2} \right)=\Limn\left(\frac{(1+n)n}{2(n+2)}-{n(n+2)\over2(n+2)}\right)=\Limn \frac{-n}{2n+4}=-{1\over2}\)

Pozdrawiam

[Sway22]

Skąd wiemy że w b) w liczniku jest ciąg arytmetyczny? Równie dobrze mógłby być chyba geometryczny?

[Jerry]

Skąd wiemy że w b) w liczniku jest ciąg arytmetyczny? Równie dobrze mógłby być chyba geometryczny?

\((1,2,3,\ldots,n)\) geometryczny \({2\over1}\ne{3\over2}\)

Pozdrawiam

[Sway22]

ale mogło by być (1,2,4,...,n) ? Wtedy jest geometryczny.

[Jerry]

ale mogło by być (1,2,4,...,n) ?

Sprawdź oryginalną treść zadania!

Pozdrawiam

[Sway22]

tak jest w zadaniu. Czy to znaczy, że trzeba uwzględnić oba przypadki?

[Jerry]

tak jest w zadaniu. Czy to znaczy, że trzeba uwzględnić oba przypadki?

Wg mnie - nie
gdyby miałby być geometryczny, to by napisali
\(\Limn \left( \frac{1+2+...+\color{red}{2^n}}{n+2} - \frac{n}{2} \right)\)

Pozdrawiam