Oblicz granicę

[Sway22]

\(
\Lim_{x\to \infty } \left( \sqrt{n^2 + \alpha n + 1} - \sqrt{n^2 + \beta n + 1} \right) \alpha , \beta \in \rr + oraz \alpha \neq \beta
\)

[eresh]

\(
\Lim_{x\to \infty } \left( \sqrt{n^2 + \alpha n + 1} - \sqrt{n^2 + \beta n + 1} \right) \alpha , \beta \in \rr + oraz \alpha \neq \beta
\)

\(\Lim_{n\to \infty } \left( \sqrt{n^2 + \alpha n + 1} - \sqrt{n^2 + \beta n + 1} \right)=\Lim_{n\to\infty}\frac{n^2+\alpha n+1-n^2-\beta n-1}{ \sqrt{n^2 + \alpha n + 1} + \sqrt{n^2 + \beta n + 1} }=\Lim_{n\to\infty}\frac{n(\alpha-\beta)}{ n( \sqrt{1 + \frac{\alpha}{n} + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1+ \frac{\beta}{ n} + \frac{1}{n^2}}) }=\\=\Lim_{n\to\infty}\frac{(\alpha-\beta)}{ \sqrt{1 + \frac{\alpha}{n} + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1+ \frac{\beta}{ n} + \frac{1}{n^2}} }=\frac{\alpha-\beta}{2}\)

[Sway22]

niezbyt rozumiem jak doszedłeś do tego:

\(\Lim_{n\to\infty}\frac{n^2+\alpha n+1-n^2-\beta n-1}{ \sqrt{n^2 + \alpha n + 1} + \sqrt{n^2 + \beta n + 1} }
\)

[eresh]

niezbyt rozumiem jak doszedłeś do tego:

\(\Lim_{n\to\infty}\frac{n^2+\alpha n+1-n^2-\beta n-1}{ \sqrt{n^2 + \alpha n + 1} + \sqrt{n^2 + \beta n + 1} }
\)

pomnożyłam licznik i mianownik przez \(\sqrt{n^2 + \alpha n + 1} + \sqrt{n^2 + \beta n + 1} \) i w liczniku zastosowałam wzór skróconego mnożenia

\(\sqrt{n^2 + \alpha n + 1} - \sqrt{n^2 + \beta n + 1} =\frac{(\sqrt{n^2 + \alpha n + 1} - \sqrt{n^2 + \beta n + 1} )(\sqrt{n^2 + \alpha n + 1} + \sqrt{n^2 + \beta n + 1} )}{\sqrt{n^2 + \alpha n + 1} + \sqrt{n^2 + \beta n + 1} }\)

[Sway22]

Domyślam się, że w takim przykładzie:
\(
\Lim_{n\to \infty } \left( 3n - \sqrt{9n^2 + 6n - 15} \right)
\)
trzeba postąpić tak samo.

Więc takie rozwiązanie jest dobre? :
\(
\Lim_{n\to \infty } \left( 3n - \sqrt{9n^2 + 6n - 15} \right) = \Lim_{n\to \infty } \frac{9n^2 - 9n^2 - 6n + 15}{3n + \sqrt{9n^2 + 6n - 15} } = \Lim_{n\to \infty } \frac{6n + 15}{3n + n \sqrt{9 + \frac{6}{n} - \frac{15}{n^2} } } = \\ \quad= \Lim_{n\to \infty } \frac{n \left( 6 + \frac{15}{n} \right) }{n \left( 3 + \sqrt{9 + \frac{6}{n} - \frac{15}{n^2} } \right) } = \frac{6}{3+ \sqrt{9} } = \frac{6}{3 + 3} = \frac{6}{6} = 1
\)

[Jerry]

Więc takie rozwiązanie jest dobre? :
\( \Lim_{n\to \infty } \left( 3n - \sqrt{9n^2 + 6n - 15} \right) = \Lim_{n\to \infty } \frac{9n^2 - 9n^2 - 6n + 15}{3n + \sqrt{9n^2 + 6n - 15} } = \Lim_{n\to \infty } \frac{\color{red}{-}6n + 15}{3n + n \sqrt{9 + \frac{6}{n} - \frac{15}{n^2} } } = \ldots\)

Prawie... zgubiłaś minus (czerwony w cytacie)!

Pozdrawiam