Definicja Cauchy'ego

[mat202]

Korzystając z definicji granicy wg Cauchy'ego udowodnic
'
\(\Lim_{x\to 2} (2^x-3)=1\)

Z góry dzieki za pomoc ^^

[grdv10]

Oryginalnie rozumowanie jest dość trudne. Mam jednak fajny pomysł związany z wypukłością funkcji wykładniczej. Otóż wykres funkcji wypukłej leży poniżej siecznej pomiędzy punktami, w których tę sieczną przeprowadzono. Tak więc prowadzimy sieczną przez punkty \((0,1)\) i \((4,16)\), jest nią prosta\[y=\frac{15}{4}x+1.\]Tak więc dla każdego \(x\in(0,4)\) mamy\[2^x<\frac{15}{4}x+1.\]Dalej,jeśli \(x\to 2^+\), to spokojnie można brać \(x-2>0\) i korzystać z tej nierówności:\[2^x-4=4(2^{x-2}-1)<4\left(\frac{15}{4}(x-2)x+1-1\right)=15(x-2),\] Stąd już łatwo dostaniemy, że jeśli \(|x-2|<\delta=\frac{\varepsilon}{15}\), to \(|2^x-4|<\varepsilon\).

Oczywiście kryje się za tym bliskość \(x\) i \(2\), czyli delta odpowiednio mała. Formalnie to da się zrobić dla \(\delta<4\). Ale można to zmodyfikować biorąc \(\delta=\min\left(4,\frac{\varepsilon}{15}\right)\) i wszystko działa.

Podobnie będzie można zrobić dla granicy lewostronnej. No i potem można by połączyć oba rozumowania biorąc wspólną deltę w postaci minimum obu delt.