najwieksza i najmniejsza wartość funkcji

[_m_s_a100]

znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x,y)=x^2y-8x-4y\) na trójkącie o wierzchołkach \((0,0), (0,4), (4,0)\).

[eresh]

znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x,y)=x^2y-8x-4y na trójkącie o wierzchołkach (0,0), (0,4), (4,0).

\(\frac{\partial f}{\partial x}=2xy-8\\
\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-4\)
\(\begin{cases}2yx-8=0\\x^2-4=0\end{cases}\\
\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}x=-2\\y=-2\end{cases}\)
żaden z punktów nie należy do wnętrza trójkąta

badamy brzeg:
1. bok trójkąta od (0,0) do (0,4)
\(x=0, 0\leq y\leq 4\)
\(f_1(y)=f(0,y)=-4y\\
f_1(0)=f(0,0)=0\\
f_1(4)=f(0,4)=-16\)

2. bok od (0,0) do (4,0)
\(0\leq x\leq 4,y=0\\
f_2(x)=f(x,0)=-8x\\
f_2(0)=f(0,0)=0\\
f_2(4)=f(4,0)=-32\)

3. przeciwprostokątna trójkąta
\(y=4-x, x\in[0,4]\\
f_3(x)=f(x,4-x)=x^2(4-x)-8x-4(4-x)=4x^2-x^3-8x-16+4x=-x^3+4x^2-4x-16\\
f'_3(x)=-3x^2+8x-4=-3(x-\frac{2}{3})(x-2)\\
f_3(2)=f(2,2)=-16\\
f_3(\frac{2}{3})=f(\frac{2}{3},\frac{10}{3})=-\frac{464}{27}\\
f_3(0)=f(0,4)=-16\\
f_3(4)=f(4,0)=-32\)

\(f_{min}=f(4,0)=-32\\
f_{max}=f(0,0)=0\)