pierścień i suma szeregu Laurenta

[paskulina7]

Znaleźć pierścień i sumę szeregu Laurenta \( \sum_{n=- \infty }^{ \infty }c_n z^n \), jeżeli:
\( c_n = \begin{cases} \frac{n}{2^{n+1}} & \text{dla}& n \ge 0 \\
0 & \text{dla}& n=-2\\
-1 & \text{dla}& n <0\wedge n \neq -2\end{cases} \)

[grdv10]

Widać stąd, że część regularna jest zbieżna w kole \(|z|<2\), a część osobliwa jest zbieżna w zbiorze \(|z|>1\), bo \(\sqrt[n]{|a_n|}\to\frac{1}{2}\), a \(\sqrt[n]{|a_{-n}|}=1\to 1\). Tak więc pierścień zbieżności to \(1<|z|<2\). Co do sumy: część regularna: szereg geometryczny mnożony przez \(n\), to się da zrobić przez różniczkowanie, a część osobliwa przez szereg geometryczny odwrotności.

Część regularna:\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}n\left(\frac{z}{2}\right)^n=\frac{z}{4}\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{z}{2}\right)^{n-1}=\frac{z}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{z}{2}\right)^n\right]'=\frac{z}{2}\left[\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^n\right]'=\frac{z}{2}\left[\frac{1}{1-\frac{z}{2}}\right]'=\dots.\]Część osobliwa:\[-\frac{1}{z}-\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{1}{z}\right)^n=-\frac{1}{z}-\frac{\frac{1}{z^3}}{1-\frac{1}{z}}.\]Mam nadzieję, że nie pomyliłem się w stałych i wskaźnikach sumowania, ale idea będzie zachowana.