Całki nieoznaczone

[_Dawid_]

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu całek nieoznaczonych (przez części lub podstawienie)

1. \(\int\)\(\sqrt{1-x^2}\)dx

2. \(\int\)\(\frac{3^x}{1+3^x}\)dx

3. \(\int\)\(x^{3}{arcsinx^{-1}}\)dx

4. \(\int\)\(\frac{x*cosx}{sinx*sinx}\)dx

[eresh]

2. \(\int\)\(\frac{3^x}{1+3^x}\)dx

\(\int\frac{3^xdx}{1+3^x}= \begin{bmatrix} 1+3^x=t\\3^x\ln 3dx=dt\end{bmatrix} =\frac{1}{\ln 3}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{\ln 3}\ln t+C=\frac{1}{\ln 3}\cdot\ln|1+3^x|+C\)

[_Dawid_]

@eresh
Otrzymuję taki sam wynik choć nie zgadza mi się on z odpowiedziami?
Choć forma rozwiązania jest poprawna. Za pewnie błąd

[eresh]

@eresh
Otrzymuję taki sam wynik choć nie zgadza mi się on z odpowiedziami?
Choć forma rozwiązania jest poprawna. Za pewnie błąd

Skoro dwie osoby, niezależnie od siebie otrzymują ten sam wynik, to raczej błąd w odpowiedziach

[Jerry]

... nie zgadza mi się on z odpowiedziami?

https://mathdf.com/int/pl/#expr=3%5Ex%2 ... 5Ex)&arg=x

Pozdrawiam

[eresh]

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu całek nieoznaczonych (przez części lub podstawienie)

1. \(\int\)\(\sqrt{1-x^2}\)dx

\(\int\sqrt{1-x^2}dx=\int\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int\frac{x^2dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x-I\\
I=\int\frac{x^2dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{bmatrix}u(x)=x&u'(x)=1\\v'(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} &v(x)=-\sqrt{1-x^2}\end{bmatrix}=-x\sqrt{1-x^2}+\int\sqrt{1-x^2}dx\\
\int\sqrt{1-x^2}dx=\arcsin x- (-x\sqrt{1-x^2}+\int\sqrt{1-x^2}dx)\\
\int\sqrt{1-x^2}dx=\arcsin x +x\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}dx\\
2\int\sqrt{1-x^2}dx=\arcsin x +x\sqrt{1-x^2}\\
\int\sqrt{1-x^2}dx=0,5(\arcsin x +x\sqrt{1-x^2})\)

[_Dawid_]

@eresh
Dzięki!

[eresh]

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu całek nieoznaczonych (przez części lub podstawienie)


4. \(\int\)\(\frac{x*cosx}{sinx*sinx}\)dx

\(\int\frac{x\cos x}{\sin^2x}= \begin{bmatrix} u(x)=x&u'(x)=1\\v'(x)=\frac{\cos x}{\sin^2x}&v(x)=-\frac{1}{\sin x}\end{bmatrix}=-\frac{x}{\sin x}+\int\frac{dx}{\sin x}\\
\)
\(\int\frac{dx}{\sin x}= \begin{bmatrix}\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\dx=\frac{2dt}{1+t^2} \end{bmatrix}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C\)