Pochodna funkcji złożonej.

[gr4vity]

\(y=\ln |\ln |x||\)
Rozwiązałem to zadanie w ten sposób:
\(y=\ln A\)
\(A=|\ln |x||\)
\(y'= \frac{1}{|\ln |x||} \cdot \frac{1}{|x|} \)
Dlaczego w odpowiedziach jest taki wynik?
\(y'= \frac{1}{\ln |x|} \cdot \frac{1}{x} \)
Co się dzieje z wartościami bezwzględnymi?

[Jerry]

Funkcja mająca taki wykres jest w pewnych przedziałach malejąca natomiast pochodna

\(y'= \frac{1}{|\ln |x||} \cdot \frac{1}{|x|} \)

jest zawsze dodatnia... Zatem coś nie tak...

Hint:
\((|\ln x|)'= \begin{cases}(-\ln x)'&\text{ dla }&x\in(0;1)\\(\ln x)'&\text{ dla }&x\in(1;+\infty) \end{cases} \)

Pozdrawiam

[gr4vity]

Zdaje sobie z tego sprawę natomiast, jak to zbić w całość? Wolfram pokazuje, że \((|\ln |x||)'= \frac{\ln|x|}{x|\ln|x||} \)
To by rozwiązywało cały problem, ponieważ wtedy w sposób naturalny zniknie mi wartość bezwzględna natomiast jak doprowadzić to do takiej postaci?

[Jerry]

... jak doprowadzić to do takiej postaci?

Z wykorzystaniem funkcji znaku:
\(sgn\ (x)= \begin{cases}-1&\text{ dla }& x<0\\0&\text{ dla }& x=0\\1&\text{ dla }& x>0 \end{cases} \So {x\over|x|}=sgn\ (x)\) dla \(x\ne0\)
mamy "udziwniony" wzorek
\((|x|)'=sgn\ (x)\) dla \(x\ne0\)
czyli
\((|f(x)|)'=sgn\ (f(x))\cdot f'(x)={f(x)\over|f(x)|}\cdot f'(x)\)

Pozdrawiam