szereg funkcyjny, twierdzenie o różniczkowaniu

[Eluwinaeeeee]

Do szeregu: \( \sum_{n=0}^{ \infty } (-x)^n\) zastosować twierdzenie o różniczkowaniu i wyprowadzić wzór na sumę szeregu:
\( \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n(n+1)x^{n+1}\)
ma ktoś pomysł jak to ogarnąć ?

[Icanseepeace]

Dla \( |x| < 1 \) mamy:
\( \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-x)^n = \frac{1}{1 + x} \So \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-x)^{n+1} = -\frac{x}{1 + x} \)
Stąd stosując twierdzenie o różniczkowaniu dostaniesz:
\( \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n(n+1)x^n = \frac{1}{(1+x)^2} \)
i ostatecznie:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(n+1)x^{n+1} = \frac{x}{(x+1)^2} \)

[Eluwinaeeeee]

nie wpadłbym na to, dzięki za pomoc