pierwiastek pierwiastka

[inter]

Oblicz \(2\sqrt{2\sqrt[5]{2\sqrt[8]{2\sqrt[11]{2 \cdots}}}}\).

[grdv10]

Wskazówka: przedstaw w postaci potęgi. Wykładnik będzie sumą wszystkich wyrazów jakiegoś ciągu. Może wyjdzie z tego geometryczny... Powinien, bo stopnie pierwiastka przyrastają o 3.

[inter]

Jakiś tego nie widzę niestety

[Jerry]

Ja bym zaczął:
\(2\sqrt{2\sqrt[5]{2\sqrt[8]{2\sqrt[11]{2 \cdots}}}}=2^1\cdot2^{1\over2}\cdot2^{1\over10}\cdot2^{1\over80}\cdot2^{1\over880}\cdot\ldots=2^{1+{1\over2}+{1\over10}+{1\over80}+{1\over880}+\ldots}\)
Pozostaje wydodawać wykładnik, jak pisał szw1710, ale na to pomysłu chwilowo nie mam...

Pozdrawiam

[inter]

... Może wyjdzie z tego geometryczny... Powinien, bo stopnie pierwiastka przyrastają o 3.

Chodziło mi o to.

[grdv10]

Ja bym zaczął:
\(2\sqrt{2\sqrt[5]{2\sqrt[8]{2\sqrt[11]{2 \cdots}}}}=2^1\cdot2^{1\over2}\cdot2^{1\over10}\cdot2^{1\over80}\cdot2^{1\over880}\cdot\ldots=2^{1+{1\over2}+{1\over10}+{1\over80}+{1\over880}+\ldots}\)
Pozostaje wydodawać wykładnik, jak pisał szw1710, ale na to pomysłu chwilowo nie mam...

Pozdrawiam

Ja mam pomysł: pokazać, że ten szereg jest zbieżny, a to łatwe, bo przeszacuje się z porównawczego geometrycznym. A potem rekurencja na te pierwiastki. \(a_1=2\), \(a_{n+1}=\dots\). I przechodzimy do granicy dostając na nią równanie. Tylko nie mam chwilowo czasu na szczegóły. Spróbujesz?

W tych mianownikach jest jednak regularność: 1,2, 2*5=10, 10*(5+3)=80, 80*(5+2*3)=880 itd. Tu się ztobi ładną rekurencję i może nawet bezpośrednio wysumuje szereg.

[inter]

Widać że będzie jakaś rekurencja, ale nie mogę wymyśleć jaka ona będzie.

[grdv10]

No mianowniki są proste: \(a_1=1,\quad a_{n+1}=\bigl(5+3(n-2)\bigr)a_n.\) Pasuje nawet dla \(n-1\). Jest to rekurencja liniowa pierwszego rzędu. Może by ją rozwiązać...

[inter]

Co wogóle da jak znajdziemy wzór jawny w mianowniku?

[grdv10]

Może da się wysumować jakoś ten szereg.

Kod: Zaznacz cały

> n<-10
> k<-1
> mianownik<-1
> iloczyn<-2
> while(k<=n){
+   mianownik<-mianownik*(3*k-1)
+   iloczyn<-iloczyn*2^(1/mianownik)
+   cat(k,' ',iloczyn,'\n')
+   k<-k+1
+ }
1   2.828427 
2   3.031433 
3   3.057813 
4   3.060222 
5   3.060394 
6   3.060404 
7   3.060405 
8   3.060405 
9   3.060405 
10   3.060405