Czy podana funkcja jest różniczkowalna?

[crookie]

Podaj, gdzie podane funkcje są różniczkowalne. Oblicz ich pochodną.

a) \( f(x)=
\begin{cases}
0, \ x \leq 0,\\
\exp(-\frac{1}{x}), \ x > 0
\end{cases}
\)

Nie wiem jak w tym przypadku obliczyć prawo- i lewostronną pochodną. Z lewej strony wychodzi \( [\frac{0}{0}] \), z prawej zaś jeśli będę chciał podstawić \( x_{0} = 0 \) do \( \exp(-\frac{1}{x}) \) wychodzi \( \exp (\frac{1}{0}) \). Jak można sobie z tym poradzić?

b) \( f(x) = \sqrt{x+2}(\tg(3x)) \)
Tutaj udało mi się ustalić pochodną, ale nie jestem pewien co do podania informacji, gdzie ta funkcja jest różniczkowalna.

\( x+2>0 \) oraz przedziały, w których zdefiniowany jest \( \tg \) doszedłem do wniosku:
f jest różniczkowalna: \( f : (-2, \infty ) \setminus (\frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3}) , k \in \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \)
Co do tego \( \mathbb{R} \) nie jestem jednak pewien i nie wiem zbytnio jak mógłbym to sprawdzić.

[Icanseepeace]

a) \( f(x)=
\begin{cases}
0, \ x \leq 0,\\
\exp(-\frac{1}{x}), \ x > 0
\end{cases}
\)
Nie wiem jak w tym przypadku obliczyć prawo- i lewostronną pochodną. Z lewej strony wychodzi \( [\frac{0}{0}] \), z prawej zaś jeśli będę chciał podstawić \( x_{0} = 0 \) do \( \exp(-\frac{1}{x}) \) wychodzi \( \exp (\frac{1}{0}) \). Jak można sobie z tym poradzić?

\( f'(x) = \begin{cases} 0 \ , \ x \leq 0 \\ \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} \ , \ x > 0 \end{cases} \)
Ponieważ dla nieujemnej liczby k mamy \( \Lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^k} = 0 \) to \( f' \) jest różniczkowalna w \( x = 0 \). W ramach ciekawostki dodam, że funkcja \( f \) nie tylko jest różniczkowalna, ale jest również funkcją gładką, ale nie analityczną! Dość istotny przykład.

b) \( f(x) = \sqrt{x+2}(\tg(3x)) \)
Tutaj udało mi się ustalić pochodną, ale nie jestem pewien co do podania informacji, gdzie ta funkcja jest różniczkowalna.
\( x+2>0 \) oraz przedziały, w których zdefiniowany jest \( \tg \) doszedłem do wniosku:
f jest różniczkowalna: \( f : (-2, \infty ) \setminus (\frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3}) , k \in \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \)
Co do tego \( \mathbb{R} \) nie jestem jednak pewien i nie wiem zbytnio jak mógłbym to sprawdzić.

Skoro wyznaczyłeś pochodną to funkcja \(f\) będzie różniczkowalna tam gdzie jej pochodna będzie określona.

[Jerry]

...Ponieważ dla nieujemnej liczby k mamy \( \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^k} = 0 \) to \( f' \) jest różniczkowalna w \( x = 0 \)....

Wg mnie trzeba zacząć od sprawdzenia ciągłości..., ale w tym przypadku szczęśliwie \(f\) jest ciągła.

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

...Ponieważ dla nieujemnej liczby k mamy \( \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^k} = 0 \) to \( f' \) jest różniczkowalna w \( x = 0 \)....

Wg mnie trzeba zacząć od sprawdzenia ciągłości..., ale w tym przypadku szczęśliwie \(f\) jest ciągła.

Oczywiście, że trzeba.
Poprawiłbym, ale nie mam możliwości edycji mojego posta.
Dziękuję za czujność.