Sprawdź, czy szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie.
\(\sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{sin^2(n^2x)}{ \sqrt{n^3+1} } \) \(na\) \( \rr \)
Szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Szeregi
Oznaczmy: \( f_n = \frac{ \sin^2(n^2x)}{\sqrt{n^3 + 1}}\). Wtedy:
\( \forall_{x \in R} \ \ |f_n| = |\frac{ \sin^2(n^2x)}{\sqrt{n^3 + 1}}| \leq \frac{1}{\sqrt{n^3 + 1}} \leq \frac{1}{n^{3/2}} \)
Ponieważ szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \) jest zbieżny bezwzględnie, zatem z kryterium Weierstrassa dostajemy, że szereg funkcyjny \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n \) jest zbieżny jednostajnie dla każdego \( x \in R \).
\( \forall_{x \in R} \ \ |f_n| = |\frac{ \sin^2(n^2x)}{\sqrt{n^3 + 1}}| \leq \frac{1}{\sqrt{n^3 + 1}} \leq \frac{1}{n^{3/2}} \)
Ponieważ szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \) jest zbieżny bezwzględnie, zatem z kryterium Weierstrassa dostajemy, że szereg funkcyjny \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n \) jest zbieżny jednostajnie dla każdego \( x \in R \).