Wykres funkcji

[bbjd]

Narysować wykres funkcji f spełniającej równocześnie warunki:
\( \int_{0}^{2}|f(x)|dx=6 \) i \(| \int_{0}^{2}f(x)dx|=2 \)

[korki_fizyka]

Jakie rodzaju ma być funkcja f(x) ? Zresztą jeżeli to ma być "i" to dla mnie jest sprzeczność. Niech się wypowiedzą rasowi matematycy, bo mi się już mózg lasuje przy 39C albo sprawdź granice całkowania czy masz dobre.

[grdv10]

\[
f(x)=\begin{cases}
2&\text{dla }0\leqslant x\leqslant 1,\\ -4&\text{dla }1<x\leqslant 2.
\end{cases}
\]

Powyższa funkcja jest całkowalna, bo jest monotoniczna. Jeśli chcesz funkcji ciągłej, narysuj odpowiedni trójkąt.

korki_fizyka: To ćwiczenie jest demonstracją na nietrywialną realizację nierówności\[\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leqslant \int_a^b\bigl|f(x)\bigr|dx.\]Nie ma tu żadnej sprzeczności. Spróbuj narysować trójkąt, o którym mówię. Więc chodzi o funkcję typu \(f(x)=a|x-1|+b.\) Parametry \(a,b\) zawsze można odpowiednio dobrać.

[Icanseepeace]

Jako przykład funkcji ciągłej można wziąć funkcje liniową:
\( f(x) = (3 + 2\sqrt{2})x - 2(\sqrt{2} + 1) \)

[grdv10]

Icanseepeace: Pasuje. https://www.desmos.com/calculator/wftvv8ufdt

Moja propozycja: https://www.desmos.com/calculator/tcfscbtqxm

No to czas na \(C^{\infty}\). Funkcję wygładza się splatając z mollifierem. Zresztą sam mollifier odpowiednio przeskalowany wystarczy.

[bbjd]

A czy mógłbym się dowiedzieć z jakich zależności skorzystaliście, dzięki którym otrzymaliście te funkcje? Nie do końca rozumiem i nie wiem czy w przypadku innego podobnego przykładu byłbym w stanie narysować.

[grdv10]

Zwyczajne intuicje związane z polem figury. Zobacz na mój pierwszy przykład - pola dwóch prostokątów. Widać, że część wykresu pod osią \(x\) musi przeważać nad częścią nad osią \(x\). Nic więcej tylko narysować odpowiedni trójkąt. Dobór parametrów to już sprawa drugorzędna, żeby było ładniej. Można też wziąć funkcję łamaną i wtedy nie ma aż tak koronkowej roboty z wymyśleniem wzoru.

Wszystkie podane przez nas przykłady można zweryfikować licząc pola odpowiednich trójkątów.

[korki_fizyka]

\[
f(x)=\begin{cases}
2&\text{dla }0\leqslant x\leqslant 1,\\ -4&\text{dla }1<x\leqslant 2.
\end{cases}
\]

Powyższa funkcja jest całkowalna, bo jest monotoniczna. Jeśli chcesz funkcji ciągłej, narysuj odpowiedni trójkąt.

korki_fizyka: To ćwiczenie jest demonstracją na nietrywialną realizację nierówności\[\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leqslant \int_a^b\bigl|f(x)\bigr|dx.\]Nie ma tu żadnej sprzeczności. Spróbuj narysować trójkąt, o którym mówię. Więc chodzi o funkcję typu \(f(x)=a|x-1|+b.\) Parametry \(a,b\) zawsze można odpowiednio dobrać.

Podstawiałem funkcję liniową i dostałem 0=4, dopiero teraz (temp. 28 C) zauważyłem, że tam występują wartości bezwzględne

[grdv10]

Hehe… ja mam w mieszkaniu klimę.